物理学の、保存力の問題を教えてください

質問

この問題が分かりません。教えてください
「質量が2の質点が
ポテンシャルエネルギーがU=x^4-4x^2+3
で与えられる力の下で運動している時、次の問題に答えなさい
問い1:釣り合いの位置を求め、それらの安定性を答えなさい
問い2:この力の下でx=0からx=1まで移動したときの仕事を求めなさい
問い3:力学的なエネルギーが3の時
A:可動範囲
B:x=1における速度(正負を含む)
C:速さが最大となる位置
を求めなさい
問い4:安定な釣り合いの位置付近で単振動するときその周期を求めなさい」

回答No.2

NemurinekoNya · ベストアンサー

NO1の付け足し。
ポテンシャルU(x) = x^4-4x^2+3は偶関数、y軸に対して対称なので、
x = -√2での運動もx = √2と対称的なものとなる。

この質問、大学の宿題かなんかでしょ。
このことは書いた方がいいんでしょうね。

ところで、
お礼を欲しいわけではないが、
お礼率０％というのは、如何なものか。

「ありがとうございます」のひと言を書くことが、それほどに手間のかかる作業で、精神的苦痛ですか？

意外に回答者は、質問者のプロフィールを見ているものよ。

このようなことを繰り返していると、
いずれ、どんな簡単な質問をしても回答が寄せられなくなる可能性があるよ。
礼儀にうるさい数学カテなら、
「こいつ、マナーがなっていない。何様のつもりだ！！」
と黙殺されるちゃうよ。

悪いことは言わないから、
今からでも遅くないので、
回答者にお礼を書きなさいよ。
確か、回答を締め切っても、質問者はお礼欄にお礼を書けるはずだったから。

お礼

ありがとうございます。
最近始めたばかりで、お礼の存在を知りませんでした。
以後気をつけます。

回答No.1

NemurinekoNya

問い１
つりあいの位置は、ポテンシャルエネルギーが極値を有するところ。
U = x^4 - 4x^2 + 3
U' = 4x^3 - 8x = 4x(x^2-2) = 4x(x+√2)(x-√2) = 0
極大のときは不安定 ・・・ x = 0
極小のときは安定　・・・　x = ±√2

増減表を書くなり、二階微分で、極大、極小の判定をする。

問い２
力をｆとすると
　f = -dU/dx
だから、
　仕事 = ∫[0,1]ｆｄｘ = ∫[0,1](-dU/dx)dx = U(0)-U(1)
U = U(x) = x^4-4x^2+3ね。
∫[0,1]は0～1の定積分をあらわす。

問い３
速度をvとすると、
　力学エネルギーE = 運動エネルギー + ポテンシャルエネルギー
　= (1/2)×2×v^2 + x^4 -4x^2 + 3 = v^2 + x^4 -4x^2 + 3 = 3

A　ｖ^2 ≧ 0だから、
　x^4 - 4x^2 + 3 ≦ 3
　x^4 - 4x2^2 ≦ 0
　x^2(x+2)(x-2) ≦ 0
　-2 ≦ x ≦ 2

B　力学エネルギーの式にx = 1を代入して、ｖを求める。

C　運動エネルギーが最大　⇔　ポテンシャルエネルギーが最小
　力学エネルギーの式にx = ±√2を代入して計算し、ｖを求めればいい。

D　運動方程式は
　2d^2x/dt^2 = -dU/dx = -4x^3 + 8x
　d^2x/dt^2 = -2x^3 + 4x
x = √2近傍の運動を考える。
　d^2(x-√2)/dt^2 = -2x^3 + 4x - (-2(√2)^3 + 4√2) = -2(x^3-(√2)^3) + 4(x-√2)　　（△）
|x-√2|が十分小さければ
　d^2(x-√2)/dt^2 = -2×3(√2)^2×(x-√2) + 4(x-√2) = -12(x-√2) + 4(x-√2) = -8(x-√2)　　　　（▲）
と近似できる。
　――― y = x-√2と置けば、（▲）は、d^2y/dt^2 = -8yで、単振動の式―――
よって、
角振動数をωとすると
　ω = 2√2
周期T = 2π/ω = 2π/(2√2) = π/√2 = (π√2)/2
かな。

　（△) -2(√2)^3 + 4√2 = 0。これは-dU/dxにx=√2を代入したもの。
　（▲）x^3-(√2)^3を近似するのに平均値の定理を使った。

計算を間違っていなければ、こうなる。