大学過程 力学の問題（エネルギー保存則？）

質問

大学の力学の問題でわからない点があり、どなたか力を貸して下さい。

問題
半径Rのなめらかな表面の球の頂上から、質量mの質点が初速度Ｖ0ですべりはじめた（図1）質点が球面から離れる瞬間の位置φとそのときの速さＶを次の指示に従って求めよ。ただしＶ0＜√(Rg)である。

(1)質点の運動方程式をベクトルで表記し、それから質点が球面から離れる位置φとそのときのはやさＶを求めよ。

(2)質点の力学的エネルギーが保存されるならその理由について言及し、力学的エネルギーの関係より質点が球面から離れる位置φとそのときのはやさＶを求めよ

http://uploadr.net/file/0e5e485310
これは、問題に添付されていた図です。

http://applis.servehttp.com/index.htm
こちらに(1)の自分で解いた解答をのせました。
ファイルは00020873.jpg
passは19474です。

この[1]の答えが、一応出たものの合っているか疑わしいです。また(2)がわからないのでそれを教えてください。

回答No.3

reiman · ベストアンサー

mV0^2/2=mV^2-mg(R-Rsin(Φ))・・・(1)
において
mV0^2/2=mV^2/2-mg(R-Rsin(Φ))・・・(1)
と修正
/2のつけ忘れです。
頭の中では/2がついているつもりで式変形したので問題ありません。

(2)
質点には重力と球からの垂直抗力が働くが球からの垂直抗力は進行方向に垂直なので仕事をしない。
したがって重力による位置エネルギーと質点の運動エネルギーの和は一定である。

球頂上の位置エネルギーを0とすると力学的エネルギー保存則より
mV0^2/2=mV^2/2-mg(R-Rsin(Φ))・・・(1)
質点が球から離れるときには球の中心に向かう向心力と円運動による加速度とmとの積はひとしいから
mV^2/R=mgsin(Φ)・・・(2)
(1),(2)から
V=√((V0^2+2gR)/3)
sin(Φ)=(V0^2/(gR)+2)/3

お礼

(1)のアップロードした解はどうやらうまくアップロードできていなかったようです、すみません。

(2)の解法わかりました。質点に働く力は力は垂直効力と重力のみで、垂直効力は運動方向に対して仕事をしないということを、θ＝0とθ＝θのときで表わして計算すると答えがでました。

(2)のΦとＶは(1)で求められる解と同じになるはずなので、はじめからやり直し、同じ答えを導けました。(1)の自分のもとの答えは、はじめの運動方程式が間違えていて、そのまま残り全部間違えていたようです。

(1)、(2)とも解決しました。ありがとうございました。

回答No.2

reiman

(2)
質点には重力と球からの垂直抗力が働くが球からの垂直抗力は進行方向に垂直なので仕事をしない。
したがって重力による位置エネルギーと質点の運動エネルギーの和は一定である。

球頂上の位置エネルギーを0とすると力学的エネルギー保存則より
mV0^2/2=mV^2-mg(R-Rsin(Φ))・・・(1)
質点が球から離れるときには球の中心に向かう向心力と円運動による加速度とmとの積はひとしいから
mV^2/R=mgsin(Φ)・・・(2)
(1),(2)から
V=√((V0^2+2gR)/3)
sin(Φ)=(V0^2/(gR)+2)/3

回答No.1

reiman

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