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数学の図形の性質の問題教えて下さい！
この画像の問題教えて下さい！ 途中式など細かく丁寧に教えてください。 証明問題なので、それっぽくまとめていただけるとありがたいです。 ちなみにヒントは辺ＡＢに関して点Ｑと対象な点をとる。 らしいです。 本当に助けてください！お願いします！
- mizukichi0928
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- sunflower-san
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そのヒント、大ヒントですよ。 辺ABを軸に三角形ABCを折り返して、Cの折り返した点をDとしましょう。つまり、ACBDは正方形になるわけです。このときQの折り返した点をQ'とすると、Q'は辺ADの中点になりますね。 このとき、辺RQを折り返した辺がRQ'なので、当然RQとRQ'の長さは等しくなります。 つまり、PR+RQ=PR+RQ' となるわけです。 ということは、これを最短にするには折れ線PRQ'が真っ直ぐになるようにRをとればいいですよね。 PRQ'が一直線に並んでいるとすると、PQ' の長さは三平方の定理から簡単に分かりますね。 たとえば、Q'からBCに垂線をおろした点をSとすると、PS = 1、Q'S = 4 ですから、PQ' = √(1^2 + 4^2) = √17 という風に計算できます。 これがPRQ'(つまりPR+RQ)の最小値になります。 ちなみにこのときのRの位置ですが、PRQ'が一直線になるということから、 三角形BRP ∽ 三角形ARQ' で、相似比はBP : AQ' = 1 : 2 になります。 よってBR : RA = 1 : 2 となるようなRをとれば、PR+RQが最小値√17になるというわけです。 参考になったでしょうか。
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