複素関数問題の収束半径と有界数列
- 複素関数の問題を解いている中で生じた不明点について詳しく教えてください。
- 収束半径をRとする複素関数Σ[n=0→∞] c_n z^nについて、{c_n}が有界数列ならばR≧1であることを示せます。
- 疑問として、(1)の＋∞とは発散しないことを表しており、(2)の「ゆえに」は有界数列であるためにR≧1となることを意味します。
- ベストアンサー
複素関数
複素関数の問題を解いているのですが、わからないことがあります。 問）Σ[n=0→∞] c_n z^n の収束半径をＲとする。{c_n}が有界数列ならば、Ｒ≧1であることを示せ。 答）|c_n|≦Mと仮定する。|z|＜1ならば、Σ[n=0→∞] |z|^n ＜＋∞。…(1) これと|c_n z^n|≦M|z|^nによって、Σ[n=0→∞] c_n z^n は|z|＜1で絶対収束する。 ゆえに R≧１。…(2) 疑問について、 ・(1)のところの＋∞の使い方がいまいちわかりません。これは発散しない（＝収束する）という考え方でいいのでしょうか ・(2)「ゆえに」のところがわかりません。どこからR≧１がでてきたのか… 初歩的な質問かもしれませんが、詳しく教えていただけると幸いです。
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数1
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
＞そのようなzについて収束してしまう→収束半径１ ＞→仮定の「収束半径がR」に矛盾、という感じでしょうか いいえ、「収束半径<1」とすると矛盾するから その否定である「収束半径≧1」がいえると いうことです。 もちろん収束半径の定義をみればこれは相当 クドイ説明ではありますが、あえて言えばそう なるということです。
その他の回答 (1)
＞(1)発散しない（＝収束する）という考え方 はい、その通りです。 ＞(2)どこからR≧１ |z|<1なる任意のzについて絶対収束する からです。 もしR<1とするとR<|z|<1というzが存在して しまい、そのようなzについて収束してしまう のでR≧1が必要です。
補足
＞もしR<1とするとR<|z|<1というzが存在して しまい、そのようなzについて収束してしまう のでR≧1が必要です。 そのようなzについて収束してしまう→収束半径１→仮定の「収束半径がR」に矛盾、という感じでしょうか
関連するQ&A
- この定理の名称を教えてください
以前何かの本で見かけてうる覚えなのですが多分 「∀k∈Nに対して,複素関数列f_kは開領域D(⊂C)で正則であるとする。この時, {Σ_{k=0}^n|f_k(z)|;n∈N}が有界⇒Σ_{n=0}^∞f_n(z)はDで正則」 だったと思うのですがこの定理は"有界収束定理"と呼ばれるものなのでしょうか?
- 締切済み
- 数学・算数
- 一様○○の直感的な意味
たとえば、複素平面上の部分集合Aとして A上の複素関数fとしたときに、 A上連続、と、A上一様連続、違うのですか？ また、同じ設定のもとで複素関数列{f_n}n:1to∞として A上収束、と、A上一様収束、違うのですか？ と思ってしまいます。定義を読み返して理解しようとしても、直感的に理解できなくてε-δの定義が覚えられません。 あと、「有界」についてです。 すべてのnについてf_nがA上有界なら、M_n≧|f_n|なるM_nがそれぞれのnに対してあると思うんですが、このM_nの中で最大のものをsup(M_n)とかmax(M_n)で選べると思うんです。それをMとすればMは有限値で、{f_n}はA上一様有界と言えるんでは？と思えてしまうんですが、有界の考え方もやっぱり、各nでf_n有界、と一様有界では意味が違うのでしょうか。 これらの○○と一様○○の間には、どのような違いがあるのでしょうか、直感的に理解したいのですが、教えていただけたらうれしいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分の問題
複素積分の問題 次の複素積分の問題が分かりません. アドバイスいただけたら幸いです. 次の複素関数について以下の問に答えよ f(z) = z^-c / ( 1+z ) ただし、0<c<1 （1）複素平面上におけるf(z) の全ての特異点を求めよ （2）図中の閉曲線をγとする閉曲線γの矢印にそった向きの「周回積分」 ∫γ f(z)dzを求めよ γRは半径(R>1)の円し,γｒは半径(r<1)の円を表す （3）z=R exp(iθ)またはr=R exp(iθ) (0<θ<2π)とおくことにより, 曲線及び曲線に沿った「周回積分」の絶対値 │∫γR f(z)dz│および、│∫γr f(z)dz│ がR→∞、r→0の極限において0に収束することを証明せよ (4)以上の結果を用い、次の「積分」 ∫（0→∞） x^-c / ( 1+x ) dx = π/ (sinπc) を証明せよ
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分～フィボナッチ？
大学院入試の過去問です。 『zを複素数とする時、数列x_n(n=0,1,2,..., x_nは実数)に対する変換X(z)を以下のように定義する。 X(z) = Σ_n=0~∞ x_n z^(-n) この時以下の問いに答えよ。 (1) |z|>Rの領域において、X(z)は収束するとする。この領域内の原点を含む閉曲線をCとする時、逆変換は x_n = (1/2πi) ∫○C X(z) z^(n-1) dz （∫○CはCを経路とする周回積分記号のつもり。） となる事を証明せよ。 (2)x_n+2 = x_n+1 + x_n (n=0,1,2,..., x_0=x_1=1)の時、X(z)を求めよ。 (3)前問で求めたX(z)を逆変換する事によって、x_nを求めよ。』 という問題です。(1)は何となくは分かるのですが正しく理解していないので教えてください。 (2)以降ってフィボナッチ数列ですよね？一般項なんてありましたっけ？ よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 関数解析の問題です。。
１．{xn}(n=1,∞)はバナッハ空間Xの点列でxに弱収束し、{ξn}(n=1,∞)はXの双対空間X’の点列でξに強収束するものとする。このとき数列{<xn,ξn>}は<x,ξ>に収束することを示せ。 ２．{xn}(n=1,∞)はヒルベルト空間Xの点列でxに弱収束し、数列{||xn||_X}は||x||_Xに収束するものとする。このとき{xn}(n=1,∞)はxに強収束することを示せ。 １、２ともに{xn}が弱収束するので、ｆを有界線形汎関数として ||f(xn)-f(x)||<ε for ∀ε と仮定できます。 １の場合、これにプラスして仮定から ||ξn-ξ||<ε とでき、このとき ∀ε>0に対して∃N s.t. ||<xn,ξn>-<x,ξ>||<ε を示せばいいんですよね？ このあとどのように||<xn,ξn>-<x,ξ>||を変形したらいいのかわかりません。 ２についてもどのように変形していけばいいのかわかりません。 どなたか教えていただけないでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分～フィボナッチ？ (その２・その３）
前回 http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=110649 で 『zを複素数とする時、数列x_n(n=0,1,2,..., x_nは実数)に対する変換X(z)を以下のように定義する。 X(z) = Σ_n=0~∞ x_n z^(-n) この時以下の問いに答えよ。 (1) |z|>Rの領域において、X(z)は収束するとする。この領域内の原点を含む閉曲線をCとする時、逆変換は x_n = (1/2πi) ∫○C X(z) z^(n-1) dz （∫○CはCを経路とする周回積分記号のつもり。） となる事を証明せよ。 (2)x_n+2 = x_n+1 + x_n (n=0,1,2,..., x_0=x_1=1)の時、X(z)を求めよ。 (3)前問で求めたX(z)を逆変換する事によって、x_nを求めよ。』 の(1)について解答を頂き解決しました。 ひきづづき(2)(3)に関して教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
なるほど、収束半径についてもう一度確認してみます。 何度も答えていただきありがとうございました。