OKWAVEのAI「あい」が美容・健康の悩みに最適な回答をご提案!
-PR-
解決
済み

複素積分~フィボナッチ?

  • すぐに回答を!
  • 質問No.110649
  • 閲覧数249
  • ありがとう数5
  • 気になる数0
  • 回答数2
  • コメント数0

お礼率 53% (212/400)

大学院入試の過去問です。

『zを複素数とする時、数列x_n(n=0,1,2,..., x_nは実数)に対する変換X(z)を以下のように定義する。
    X(z) = Σ_n=0~∞ x_n z^(-n)
この時以下の問いに答えよ。
(1) |z|>Rの領域において、X(z)は収束するとする。この領域内の原点を含む閉曲線をCとする時、逆変換は
    x_n = (1/2πi) ∫○C X(z) z^(n-1) dz    (∫○CはCを経路とする周回積分記号のつもり。)
となる事を証明せよ。
(2)x_n+2 = x_n+1 + x_n (n=0,1,2,..., x_0=x_1=1)の時、X(z)を求めよ。
(3)前問で求めたX(z)を逆変換する事によって、x_nを求めよ。』

という問題です。(1)は何となくは分かるのですが正しく理解していないので教えてください。
(2)以降ってフィボナッチ数列ですよね?一般項なんてありましたっけ?

よろしくお願いします。
通報する
  • 回答数2
  • 気になる
    質問をブックマークします。
    マイページでまとめて確認できます。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.1
レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

[1]   X(z) = Σ_n=0~∞ x_n z^(-n)
の両辺に z^m を掛けて周回積分する.
[2]   ∫○ X(z) z^m dz= Σ_n=0~∞ x_n ∫○ z^(m-n) dz
右辺で,z=0 が1位の極になっているのは m-n=-1 のときで,
このときだけ留数定理から積分の値がゼロでない.
したがって,[2]の右辺は 2πi x_{m+1} で
[3]   ∫○ X(z) z^m dz = 2πi x_{m+1}
m+1 を n と書き直して
[4]    x_n = (1/2πi)∫○ X(z) z^(n-1) dz

フィボナッチ数列の一般項については
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=99350
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=86219
の私の回答をご覧下さい.
お礼コメント
taropoo

お礼率 53% (212/400)

返事が遅くなりまして申し訳ありません。
急の仕事が入ってしまいなかなか時間が割けない状況になってしまいましたもので。

(1)に関してはOKです。ありがとうございました。
引き続き(2)(3)もお願いします。
投稿日時 - 2001-08-01 18:40:07
-PR-
-PR-

その他の回答 (全1件)

  • 回答No.2
レベル10

ベストアンサー率 40% (54/135)

(2)については zX(z) = Σx_n z^(-n+1) z^2X(z) = Σx_n z^(-n+2) という具合にずらしたとき、係数の間の関係式から再び X(z)で表すことができるという性質を使うのではないでしょうか? n→∞のほうは関係なくなるように 変な数列の場合も解析接続してかんがえるのでしょうか?? ...続きを読む
(2)については
zX(z) = Σx_n z^(-n+1)
z^2X(z) = Σx_n z^(-n+2)
という具合にずらしたとき、係数の間の関係式から再び
X(z)で表すことができるという性質を使うのではないでしょうか?
n→∞のほうは関係なくなるように
変な数列の場合も解析接続してかんがえるのでしょうか??
お礼コメント
taropoo

お礼率 53% (212/400)

    ∫○ X(z) z^(n-1) dz = 2πi x_{n}
    ∫○ X(z) z^n dz = 2πi x_{n+1}
    ∫○ X(z) z^(n+1) dz = 2πi x_{n+2}
から
    ∫○ X(z) {z^(n+1) - z^n - z^(n-1)}dz = 0
までは分かったのですが、ここからどうして良いか分かりません。
お助けを。。。
投稿日時 - 2001-08-01 18:41:13

このQ&Aで解決しましたか?
関連するQ&A
-PR-
-PR-
このQ&Aにこう思った!同じようなことあった!感想や体験を書こう
このQ&Aにはまだコメントがありません。
あなたの思ったこと、知っていることをここにコメントしてみましょう。

その他の関連するQ&A、テーマをキーワードで探す

キーワードでQ&A、テーマを検索する
-PR-
-PR-
-PR-

特集


いま みんなが気になるQ&A

関連するQ&A

-PR-

ピックアップ

-PR-
ページ先頭へ