同時に投げ上げた2物体の運動について
- 物体Aと物体Bを同時に投げ上げる場合、同時にぶつかるためには初速の鉛直成分が等しくなければならない。
- 物体Aが最高点に達した後に落ちてくる途中に物体Bと衝突することは起こりえない。
- L(水平方向の距離)を考慮しなくても、t1で高さが同じでも物体Bは水平方向に進んでいる。
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同時に投げ上げた2物体の運動につきまして
同時に投げ上げた2物体の運動についての御質問です。 物体Aを初速V0で鉛直に投げ上げると同時に 水平方向にL離れた地点から、物体Bを、 水平方向との角度αの向きに、初速v0で投げ上げます。 このとき Aの鉛直方向の座標は Y = V0*t - (1/2)gt^2 Bの鉛直方向の座標は y = v0sinα*t - (1/2)gt^2 t = t1で2つが衝突したとき、 V0*t - (1/2)gt1^2 = v0sinα*t - (1/2)gt1^2 であるから、両辺とも2項目が同じで消え、 V0 = v0sinα よって、同時に投げ上げた2物体が空中でぶつかるためには、 初速の鉛直成分が等しくなければならない。 ***** なぜ、Aが一度最高点に達したあと落ちてくる途中に Bと衝突する、ということが起こりえないのでしょうか。 いまいち腑に落ちず困っています。 (Lを考えなくてよい理由、 t1で高さが同じであってもBは水平方向にL進んでいるのか・・・) よろしくお願い致します。
- stztoa
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お礼ありがとうございます。 玉が最も高いところに達したときの速度は0。この時の時間をT1とすると、 T1 = V0/g (= v0sinα/g) 衝突までの時間τは τ = L/(v0cosα) ですから、 T1 > τ ならば上昇中 T1 = τ ならば最も高いところ T1 < τ ならば落下中 となります。 上昇中の場合を計算すると、 v0sinα/g > L/(v0cosα) sinαcosα > gL/v0 (1/2)sin(2α) > gL/v0 sin(2α) > 2gL/v0 等号の時は、最高到達点で、不等式の>が<になれば、落下中となります。 ☆また、ある時点でAがBよりも高い位置にあり、そのときBがまだ上昇中で、 落下してきたAと衝突するということはなぜありえないのでしょうか。 ◇同時に投げ上げたのだから、それはない。 投げる時間がずれていれば、ありえるけれどね。 ☆記述式の問題であれば、(*)も書かないといけないということですよね。 ◇どうだろう。 出題者がどこまで要求しているのかが分からないので何とも・・・。 減点されないためには、書いた方がいいのでしょうね。
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- NemurinekoNya
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あっ、計算を間違えている。 【誤】 v0sinα/g > L/(v0cosα) sinαcosα > gL/v0 (1/2)sin(2α) > gL/v0 sin(2α) > 2gL/v0 【正】 v0sinα/g > L/(v0cosα) sinαcosα > gL/v0^2 (1/2)sin(2α) > gL/v0^2 sin(2α) > 2gL/v0^2 です。 計算、苦手だから、わたし(ポリポリ)。 送信後にすぐに過ちに気づくのに、なんで、送信前に気づかないのだろう・・・。
お礼
ありがとうございました!
- gohtraw
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>ある時点でAがBよりも高い位置にあり、そのときBがまだ上昇中で、 >落下してきたAと衝突する Aが落下しているときにBがなお上昇中ということは、鉛直方向の 初速度が A<B ということですよね?そこで両者の初速度を vaとvbとすると、ある時点tにおける両者の高さはそれぞれ va・t-gt^2/2 vb・tーgt^2/2 なので、後者のほうが常に大きくなります。これはAがBよりも高い 位置にあるという初めの前提と矛盾しますね。
お礼
2度目のご回答どうもありがとうございます。 とてもわかりやすく、感謝いたします。。 そもそも衝突する必要条件は鉛直成分の速度が同じことなのに そんな状況(A落下中、B上昇中)になるわけがないとやっと気づきました。 どうも物理で変な妄想をしてしまうときがあるので、気をつけたいと思います。 ベストアンサーを皆様に差し上げたいのですが、 回答いただいた数で今回は他の方にさせていただきます。。 申し訳ありません。 本当にありがとうございました!
- Tann3
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鉛直方向のことしか考えていないので、衝突するためには、鉛直方向の座標が同じである必要がある、ということになっているわけです。 Y = y では、AとBの鉛直方向の座標は常に同じ、という条件を課していることになります。 Y = y ではなく、 Y = a y = a の独立した二次方程式をそれぞれ解けば、各々2つずつ t の解が求まります。そのどれとどれが衝突する時刻かによって、4つのケースがあり得ます。(A・Bとも上昇過程、Aは上昇過程でBは下降過程、その逆、A・Bとも下降過程、の4ケース) なお、水平方向を考えれば、Bの水平方向の座標は、Aの座標を x=0 とすれば x = L - v0・cosα・t となります。 つまり、衝突するのは t = L/v0・cosα のときです。これが上記4ケースのどれになるかを決める条件になります。
お礼
ご回答ありがとうございます。 同時に投げ上げていて鉛直成分の速度が同じで、 Aが上昇中でBが下降中に衝突することはありえないのに、 昨日まで変に混乱してわからなくなっていました。 詳しくご回答いただき本当にありがとうございました!
- NemurinekoNya
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~~~~~~ Aの鉛直方向の座標は Y = V0*t - (1/2)gt^2 Bの鉛直方向の座標は y = v0sinα*t - (1/2)gt^2 ~~~~~~ この式は、上昇中だけではなく、降下中にも成りたちますよ。 上昇中に衝突するか、降下中に衝突するかは、 v0とL、そして、cosαによって決まります。 で、 ☆V0 = v0sinα は、衝突するための必要な条件にすぎません。 衝突までの時間をτとすると、 τ = L/(v0・cosα) となるので、 投げた物体が地面に落ちてくるまでの時間をTとすると、 τ≦T も同時に満たしていないと、 AとBは衝突しません。 そういうことです。
お礼
ご回答ありがとうございます。 教えていただいたτ≦Tという条件から、 L<=v0^2 * sin2α/g と計算できました。(*) >上昇中に衝突するか、降下中に衝突するかは、 v0とL、そして、cosαによって決まります。 これはどう計算式をたてればよいのでしょうか。 また、ある時点でAがBよりも高い位置にあり、そのときBがまだ上昇中で、 落下してきたAと衝突するということはなぜありえないのでしょうか。 V0 = v0 * sinα より、v0 >= V0で、エネルギー保存則で理解できるかと思ったのですが、 この問題ではAの質量がM、Bの質量がmと書いてあるもののその大小関係がわかりません。 理解が悪く申し訳ありません。 混乱してきました。 ちなみに問題集にのっていた2000年センタ-の追試です。 問題文には、 「BをAに衝突させるにはBの打ち上げ角度αをいくらにしなければならないか。 sinαの値を答えよ」 と書いてあり、 答え:sinα=V0/v0 物体の質量、2物体間のLは、答えに影響しない。 と書いてありました。 記述式の問題であれば、(*)も書かないといけないということですよね。
- gohtraw
- ベストアンサー率54% (1630/2966)
垂直方向の位置の差だけ考えると、ある時点でAがBよりも高い位置 にあり、両者とも落ちる(高さが減る)方向にうごいているとしたら、その 垂直方向の速度はエネルギー保存則によりB>Aなので、AはBに 追いつけないということだと思います。 Lは考えなくてもいいのではなく、Lと角度αの組み合わせが適切で ないと両者は衝突しないはずです。
お礼
ご回答ありがとうございます。 ある時点でAがBよりも高い位置にあり、そのときBがまだ上昇中で、 落下してきたAと衝突するということはなぜありえないのでしょうか。 V0 = v0 * sinα より、v0 >= V0で、エネルギー保存則で理解できるかと思ったのですが、 この問題ではAの質量がM、Bの質量がmと書いてあるもののその大小関係がわかりません。 Lとαの組み合わせが必要というのは、上の方のご回答から、 L<=v0^2 * sin2α/g と計算できました。(*) 理解が悪く申し訳ありません。 ちなみに問題集にのっていた2000年センタ-の追試です。 問題文には、 「BをAに衝突させるにはBの打ち上げ角度αをいくらにしなければならないか。 sinαの値を答えよ」 と書いてあり、 答え:sinα=V0/v0 物体の質量、2物体間のLは、答えに影響しない。 と書いてありました。 記述式の問題であれば、(*)も書かないといけないということですよね。
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