物体の衝突

質問

大学受験問題です。よろしくお願いします。

水平な地面上のＰ地点から質量Ｍの小物体Aを鉛直に打ち上げ、同時にＱ地点から質量ｍの小球Ｂを打ち上げる。小球Ｂの打ち上げ角度αとＰＱ間の距離lは変化させることができる。小物体Ａの打ち上げの初速度の大きさをＶ、小球Ｂの初速度の大きさをｖとする。また、重力加速度の大きさをｇとし、空気による抵抗は無視する。
ＢをＡに衝突させるには、角度αをいくらにしなければならないか。sinαを求めよ。
私は、
Ａのｔ秒後のｘ座標＝Ｂのｔ秒後のｘ
Ａのｔ秒後のｙ座標＝Ｂのｔ秒後のｙ
なので、
（ｘ軸方向）
l=v（cosα）t
cosα=l/vt-----☆
（ｙ軸方向）
Aについて・・・y=Vt-(1/2)gt＾2
Bについて・・・y'=vsinαt-(1/2)gt＾2
A=Bより
V=vsinα
sinα=V/v-----★

☆と★より、
tanα=tV/l
sinα=tV/lcosα、としました。

ですが、解答では、
ＡとＢが衝突する場合、Ａ、Ｂは同じ座標に同じ時刻に到達しなければならない。その場合、鉛直方向について考えれば、同時に投げ出すため、鉛直方向の初速度が同じでなくてはならない。ここで、それぞれの初速度のｙ成分より、
ｖsinα＝Ｖ
とあります。

ですが、これだとｘ軸方向が考慮されていないことになりませんか？
高さは同じでも、ｘ座標が違うかもしれず、それだと衝突しないと思います。

また、答えには、「鉛直方向の初速度が同じでなくてはならない」とありますが、どうしてでしょうか。

以上、よろしくお願い致します。

回答No.2

nktnystk · ベストアンサー

goodoさん　こんばんは。

２体の衝突問題でご指摘の通り
>Ａのｔ秒後のｘ座標＝Ｂのｔ秒後のｘ
>Ａのｔ秒後のｙ座標＝Ｂのｔ秒後のｙ
という解法をする場合もあります。
しかし、本問ではそもそもあらかじめあたえられている物理量は、M,m,V,v,g(定数扱い)であり、α、l（変数扱い）を調節して、２体を衝突させるという問題であり、「sinαを求めよ」という問は「sinαをM,m,V,v,gを使ってあらわせ」ということであり、その答えにｌや勝手に導入した文字ｔは使ってはいけません。
　水平方向のことが気になっているようですが、この問題では先ずは鉛直方向の運動に着目して、角度についての条件（sinα=V/v）が導かれますが、当然これは２体衝突の必要条件であって、十分条件ではありません。さらに、水平方向の運動も加味して、両物体が地面に落ちる前に空中で衝突する条件を考えると、距離ｌについての条件（l<(2v/g)√(V^2-v^2)）が出てきます。ご確認ください。

お礼

御回答ありがとうございます。
確かにtは与えられていない記号なので、解答に使ってはだめですね。それはわかりました。

＞角度についての条件（sinα=V/v）が導かれますが、当然これは２体衝突の必要条件であって、十分条件ではありません。
というのは、衝突するなら、角度はαだが、角度αだからといって必ず衝突するとは限らない、ということですよね？
ですが、この問題では衝突させたる条件をきいているのだから、つまり必要十分条件を問うているのではないのですか。
衝突するときは角度αだ、というだけでは、この問題に答えていることにはならないような気がします・・・。

それから、距離ｌについての条件ですが、書いて頂いた式の導き方がわかりませんでした。自分が質問のところに書いたｘ軸方向の式からtを求めた式ということでしょうか。もう一度考えてみたいと思います。

回答No.4

yagoro

>衝突するときは角度αだ、というだけでは、この問題に答えていることにはならないような気がします・・・。
（問）ＢをＡに衝突させるには、角度αをいくらにしなければならないか。sinαを求めよ。
　答えになってる。
・・・★は単に小物体Aの鉛直線上で衝突する条件だけど、この問題では「水平な地面上」と書かれているのでスタート地点より低い位置での衝突はありえない。だから求めたαは必要十分ではない。

>l=v（cosα）t
>なので、変数はｔだけでなくｌもαもあると思いますが・・・。
t=l/(v(cosα))
つまり「初速度v、角度α、距離lだけ離れていれば、小物体AとBのx座標が等しくなる時刻tはl/(v(cosα))である」。どこが不満？

お礼

ご回答ありがとうございます。
問題の捉え方なのでしょうね。

回答No.3

nktnystk

goodoさん　こんばんは。

>>>>>>
衝突するなら、角度はαだが、角度αだからといって必ず衝突するとは限らない、ということですよね？
ですが、この問題では衝突させたる条件をきいているのだから、つまり必要十分条件を問うているのではないのですか。
衝突するときは角度αだ、というだけでは、この問題に答えていることにはならないような気がします・・・。
>>>>>>

この点はおっしゃる通りです。数学的に考えるならば、必要条件だけではだめで、必要十分な解答をするべきです。しかし、この問題は大学入試問題では割とポピュラーな問題なのですが、設問の流れから出題者の意図は、先ずαの条件、次にｌの条件を求めさせて、最終的には必要十分な条件を導くというタイプの問題であろうと推察されます。物理の入試問題では誘導にしたがって、出題者の意図を読み取って解答していくという「読解力」が大切です。

>それから、距離ｌについての条件ですが、書いて頂いた式の導き方がわかりませんでした。

この質問についてはヒントを書きますと、水平方向に進む時間を求めて、この時間で鉛直に投げ上げた物体がどこの高さにあるかを求め、これが正であるという条件式を作ります。後はこの式から先に求めたsinαの式を使ってαを消去してみてください。

お礼

ご回答ありがとうございます。お礼が遅くなりすみません。

なるほど、設問１、２…と順に求めていって最後に答えをだすというのですね。数学ではよくありました。この問題もそうだと思います。なんだか考えてもしょうがない質問に度々お付き合いいただきありがとうございました。
距離ｌについては再度自分で解いてみます。
ご丁寧に教えていただきありがとうございました。

回答No.1

yagoro

・y軸方向
y=vt-(1/2)gt^2
であり、加速度同じ(g)で同時(t=0)に投げてる。
となると残るv(y方向の初速)が等しくないといけません。

・x軸方向
x=vt
で小物体Aのx座標が定数なのでぶつかるときの時刻が求まるだけです。
その時刻は小物体Bのx方向の初速に依存します。

時刻を求める問題ではないからx軸方向を考慮していないのです。
まさか反対方向に投げる訳ないので。

お礼

御回答ありがとうございます。
ｙ軸方向についてはわかりました。自分で立てた式からも納得しました。

ですが、ｘ軸方向についてはやはりよくわかりません。
＞小物体Aのx座標が定数なのでぶつかるときの時刻が求まるだけです
とのことですが、ｘ軸方向に関してA＝Bとすると、
l=v（cosα）t
なので、変数はｔだけでなくｌもαもあると思いますが・・・。

＞時刻を求める問題ではないからx軸方向を考慮していないのです。
＞まさか反対方向に投げる訳ないので。
というのもあまりよくわかりませんでした。