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数学III 複素数 絶対値
|z+1|=2|z-2|を満たす複素数zについて、|z-3|を求めよ。 zz-3(z+z)+5=0→(z-3)(z-3)=4 上記に何が起こったのか分かりません。 丁寧に教えてください。 注、z(ぜっとバー)の打ち込み方がわからないのでzのままにしてあります。
- lovehotgirl
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z の共役複素数を z~ と書くことにします。 |z+1| = 2|z-2| 2乗 |z+1|^2 = 4 |z-2|^2 ここで |z+1|^2 = (z+1) (z+1)~ = (z+1) (z~+1) = z z~+ (z+z~) +1 4 |z-2|^2 = 4 (z-2) (z-2)~ = 4 (z-2) (z~-2) = 4 z z~ -8 (z+z~) +16 なので z z~+ (z+z~) +1 = 4 z z~ -8 (z+z~) +16 移項 3 z z~-9(z + z~) +15 = 0 3で割って z z~ -3(z +z~) + 5 = 0 2乗を作るための移項 z z~ -3(z +z~) + 9 = 4 因数分解 (z-3) (z~-3)=4 (z-3) (z-3)~=4 |z-3|^2=4 ∴|z-3|=2 …(答)
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- 178-tall
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z の共役を z~ と記すと、|z| = √(zz~) と書けそう…。 問式の左辺は、 |z+1| = √[ (z+1)(z~+1) ] = √(zz~+z+z~+1) ( = √L ) 右辺は、 2|z-2| = 2*√[ (z-2)(z~-2) ] = 2*√(zz~-2z-2z~+4) ( = √R ) 題意は、√L = √R つまり √L - √R = 0 らしいので、 √L - √R = (L-R)/{ √L + √R} = 0 つまり ( √L≠ - √R として) 、 L-R = (zz~+z+z~+1) - 4(zz~-2z-2z~+4) = -3(zz~-3z-3z~+5) = 0 …になる、というのでしょうネ。 あとは、道なり。
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- transcendental
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|z+1|=2|z-2| を平方します。 |z+1|^2=4|z-2|^2 ・・・(*) ここで、zの共役複素数をz゜と書くことにします。 z・z゜=|z|ですから(*)式は、 (z+1)(z+1)゜=4(z-2)(z-2)゜ また、(α+β)゜=α゜+β゜、(実数)゜=(その数)ですから上式は、 (z+1)(z゜+1)=4(z-2)(z゜ー2) ⇔ zz゜ー3(z+z゜)+5=0 ⇔ (z-3)(z゜ー3)-9+5=0 となります。
お礼
ありがとうございます!!
補足
質問の仕方が悪かったです。 zz-3(z+z)+5=0→(z-3)(z-3)=4 これがよくわからないです。と質問したかった。
- Tacosan
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2乗したんじゃない?
お礼
ありがとうございます!!
補足
質問の仕方が悪かったです。 zz-3(z+z)+5=0→(z-3)(z-3)=4 これがよくわからないです。と質問したかった。
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