対偶と背理法

質問

こんにちは。
　実数xが無理数であるとき，2xは無理数であることを証明せよ。

対偶は　2xが有理数ならばxは有理数である。
　　　　2xが有理数なので、2x=p/q (pとqは互いに素)とおける。
　　　　両辺2で割って、x=p/2q　である。ここで、右辺のp/2qは有理数
　　　　であるから、左辺xも有理数。
　　　　対偶が真なので元の命題も真である。

これを背理法で解くとき，
　　　　2xを有理数とすると，2x=r （rは有理数）とおくと，x=ｒ/2　
　　　　rは有理数なので，r/2も有理数である。このことはxが無理数で
　　　　あることと矛盾する。
　　　　したがって，2xは無理数である。

何がどう違うのでしょうか。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

背理法で、一般に、前提⇒結果　のパターンで　
前提かつ結果の否定から、結果の否定を導き、結果の否定から前提の否定を導くことができるなら
必然的に前提と矛盾します。

この時結果の否定から前提の否定を導いているので、対偶証明を含んでいます。
つまり「矛盾」は余分なわけで

「違わない」

といってよいと思います。

但し、対偶証明には直せないケースもありますので、対偶＝背理法とは思わないでください。

回答No.1

MagicianKuma

何が？⇒証明の方法が
どう違う？⇒片方は同値の命題である対偶を証明することで行っており、片方は証明したい命題の否定を仮定し矛盾を導き出している。

以上　違いは明白。結果は同じ。
別のたとえ話、100円のアイスクリームを2個買った。いくら払ったでしょう。ある人は100+100=200と考えました。別の人は100*2=200と考えました。何がどう違うのでしょう？

ちなみに背理法の証明の方は正確ではない。
証明したい命題は∀x∈R(x∈G⇒2x∈G) ただしRは実数全体の集合、Gは無理数全体の集合
なので、仮定すべきは￢(∀x∈R(x∈G⇒2x∈G)) すなわち∃x∈R(x∈G∧￢(2x∈G))です。
言葉で言うと、「xが無理数でかつ2xが無理数でない、ような実数xが存在する。」と仮定する。が正しい。