関数

質問

放物線C:y=x^2上に異なる2点P(p,p^2), (p>0),Q(q,q^2)をとる。点PおけるCの接線と点QにおけるCの接線が直交するとき、Qの座標は(1/アp, 1/イウp^2)であり線分PQとCで囲まれる図形の面積をSpとすると Sp=1/エ(p+1/オp)^3である。したがって、p>0の範囲でpを動かすと、spは、P=1/カの時最小値1/キをとる。次にp＝1のとき、C上の2点P,Qの間を動く点P(r,r^2)をとる。線分PRとC, CRとCとで囲まれる図形の面積をそれぞれT1,T2とすると、T1+T2は r=ク/ケのとき最小値コサシ/スセソタをとる。
アからタまでの解答をお願いします。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

y=x^2上の点P(p,p^2)における接線L：

y'=2xゆえPにおける傾きは2p

L:y-p^2=2p(x-p)

y=2px-p^2　　(1)

Q(q,q^2)における接線L'：

y'=2xゆえQにおける傾きは2q

L':y-q^2=2q(x-q)

y=2qx-q^2　　(2)

LとL'が直交：

2p*2q=-1

q=-1/4p (3)

Q(-1/4p,1/16p^2) (ア、イ、ウ）

L,L'の交点は(1)，(2)を連立して

x=(p+q)/2, y=pq

p>0とするとq<0である。

Sp=∫[q→(p+q)/2][x^2-(2qx-q^2)]dx+∫[(p+q)/2→p][x^2-(2px-p^2)]dx

=∫[q→(p+q)/2][(x-q)^2)]dx+∫[(p+q)/2→p][(x-p)^2]dx

=[(x-q)^3/3)][q→(p+q)/2]+[(x-p)^3/3][(p+q)/2→p]

=(p-q)^3/6

=(p+1/4p)^3/6 （(3)より） （エ、オ）

p>0のとき相加平均、相乗平均の関係より

p+1/4p≧2√p*(1/4p)=2/2=1

　＝が成り立つのはp=1/4p、すなわちp=1/2 (カ）

Spの最小値＝1/6 （キ）

＞線分PRとC, CRとCとで囲まれる図形の面積をそれぞれT1,T2とすると、

記載ミス、正しくは

＞線分PRとC, QRとCとで囲まれる図形の面積をそれぞれT1,T2とすると、

PRの式

y-p^2=[(p^2-r^2)/(p-r)](x-p)

整理して

y=(p+r)x-pr

T1=∫[r→p][(p+r)x-pr-x^2]dx=[(p+r)x^2/2-prx-x^3/3][r→p]

=(p+r)(p^2-r^2)/2-pr(p-r)-(p^3-r^3)/3

=(p-r)[(p+r)^2/2-pr-(p^2+pr+r^2)/3]

=(p-r)^3/6

QRの式

y-q^2=[(q^2-r^2)/(q-r)](x-q)

整理して

y=(q+r)x-qr

T2=∫[q→r][(q+r)x-qr-x^2]dx=[(q+r)x^2/2-qrx-x^3/3][q→r]

=(q+r)(r^2-q^2)/2-qr(r-q)-(r^3-q^3)/3

=(r-q)[(r+q)^2/2-qr-(r^2+rq+q^2)/3]

=(r-q)^3/6

T=T1+T2=[(p-r)^3+(r-q)^3]/6=[(r+1/4p)^3-(r-p)^3]/6

Tの最小値は

dT/dr=[(r+1/4p)^2-(r-p)^2]/2=0　　(4)

を満たすrの値において生じる。

(4)の解

r=p/2+1/8p

Tの式に代入して

T=[(p/2-1/8p)^3+(p/2+3/8p)^3]/6

p=1を代入して

T=[(3/8)^3+(7/8)^3]/6=185/1536 （コサシスセソタ）

お礼

丁寧な解説、解答いただきありがとうございました。