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テイラー展開の問題です。
次の問題が分かりませんでした。 (1+x)^(-1/x)のx=0に関するテイラー展開をxの２次の項まで求めよ。 よろしくお願いします。
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f(x)=(1+x)^(-1/x)=exp(-log(1+x)/x) f(0)=lim(x→+0) f(x)=lim(x→+0) exp(-log(1+x)/x) =exp(lim(x→0) (-log(1+x)/x)) ロピタルの定理適用 =exp(lim(x→0) (-1/(1+x)) =exp(-1)=1/e (eはネイピア数) f'(x)=(-log(1+x)/x)'*exp(-log(1+x)/x) =((log(x+1)-(x/(x+1)))/x^2)*exp(-log(1+x)/x) f'(0)=lim(x→0)((log(x+1)-(x/(x+1)))/x^2)*(1/e) ロピタルの定理適用 =(1/e)lim(x→0) ((1/(x+1)-(x+1-x)/(x+1)^2))/(2x) =(1/e)lim(x→0) ((1/(x+1))-(1/(x+1)^2))/(2x) =(1/e)lim(x→0) (x/(x+1)^2)/(2x) =(1/e)lim(x→0) (1/2)/(x+1)^2 =1/(2e) f''(x)={((x+1)log(x+1)^2+(-2x^2-4x)log(x+1)+3x^2)/(x^5-x^4)}*exp(-log(1+x)/x) f''(0)=(1/e)lim(x→0)((x+1)log(x+1)^2+(-2x^2-4x)log(x+1)+3x^2)/(x^5-x^4) (途中計算省略) =-5/12 f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+ … =(1/e)+(1/(2e))x-(5/(24e))x^2+ … (eはネイピア数)
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- 中村 拓男（@tknakamuri）
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(1+x)^(-1/x) を e^(?) という形に直してみる。 そうすれば微分が容易になります。
お礼
なるほど！参考にします。ありがとうございました。
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お礼
ご丁寧に解答ありがとうございました。