微分方程式の問題がわかりません。

質問

y''+2y'-8y=6xe^2xに対し、（ax^2+bx)e^2xが特殊解となるような定数a,bの値を求め、その一般解を求めよ。

どのように解けばよいのでしょうか

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

＞y=(ax^2+bx)e^2xとおいて
y'=(2ax+b)e^2x+2(ax^2+bx)e^2x
={2ax^2+(2a+2b)x+b}e^2x
y''=(4ax+2a+2b)e^2x+2{2ax^2+(2a+2b)x+b}e^2x
={4ax^2+(8a+4b)x+2a+4b}e^2x
これらをy''+2y'-8y=6xe^2xの左辺に代入
y''+2y'-8y={4ax^2+(8a+4b)x+2a+4b}e^2x+2*{2ax^2+(2a+2b)x+b}e^2x-8(ax^2+bx)e^2x
=(12ax+2a+6b)e^2x
これが右辺の6xe^2xと等しくなるには、12a=6、2a+6b=0から
a=1/2、b=-1/6
よって特殊解は{(1/2)x^2-(1/6)x}e^2x・・・・・(ア)
y''+2y'-8y=0の基本解は、Dを微分記号として
(D^2+2D-8)y=(D-2)(D+4)y=0からC、Dを定数として
y=Ce^2x+De^(-4x)・・・・・(イ)
求める一般解は(ア)+(イ)から
y=Ce^2x+De^(-4x)+{(1/2)x^2-(1/6)x}e^2x
={(1/2)x^2-(1/6)x+C}e^2x+De^(-4x)・・・答

回答No.2

spring135

特殊解ysを

ys=(ax^2+bx)e^2x

として

y''+2y'-8y=6xe^2x　　　　(1)　　

を満たす条件を求めます。

ys'=(2ax+b)e^2x+(ax^2+bx)2e^2x=[2ax^2+2(a+b)x+b]e^2x

ys''=[4ax+2(a+b)]e^2x+[2ax^2+2(a+b)x+b]2e^2x

=[4ax+2(a+b)+4ax^2+4(a+b)x+2b]e^2x

=[4ax^2+4(2a+b)x+2b]e^2x

ys''+2ys'-8ys={4ax^2+4(2a+b)x+2b+2[2ax^2+2(a+b)x+b]-8(ax^2+bx)}e^2x=6xe^2x

12ax+4b=6x

a=1/2, b=0

ys=x^2*e^(2x)/2

y''+2y'-8y=0の解をyeとすると

特性方程式

t^2+2t-8=0

の解

t=-4,2を用いて

ye=ce^(-4x)+de^(2t)

とあらわされ

(1)の一般解は

y=ys+ye=x^2*e^(2x)/2+ce^(-4x)+de^(2t)

である。c,dは境界条件、初期条件よりきめる。

回答No.1

transcendental

微分して代入し、係数を比較するだけです。
ｚ＝（aｘ＾２＋ｂｘ）e＾（２ｘ）とおくと、
ｄｚ/ｄｘ＝｛２aｘ＾２＋（２a＋２ｂ）ｘ＋ｂ｝e＾（２ｘ）
ｄ＾２ｚ/ｄｘ＾２＝｛４aｘ＾２＋（６a＋４ｂ）ｘ＋２a＋４ｂ｝e＾（２ｘ）
これを元式に代入して、（a、ｂ）＝（３/５、０）を得ます。

斉次方程式の解は、ｙ＝A・e＾（２ｘ）＋B・e＾（－４ｘ）ですから、これとの和が与方程式の一般解です。