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数学で分からない問題があります！
f(x)= log(1+x) に対して以下を示せ (1) f^(n)(x) = (-1)^(n-1)×(n-1)！/(1+x)^n (2) f(x) = ∞∑n=1 (-1)^n-1/n × x^n (-1 < x ≦ 1) お願いします。
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数学の問題 関数f(x) (n=1,2,3,・・・) は f1(x)=4x^2+1 fn(x)=∫[1～0] ｛ 3x^2 * t * f'(n-1)(t) + 3f(n-1)(t) ｝ dt 、 (n=2,3,4,・・・) で、帰納的に定義されている。このfn(x)を求めよ。 という問題です。解説で tで積分なので、定数は前に出して fn(x)=3x^2∫[1～0] ｛ t * f'(n-1)(t) dt ｝ + 3∫[1～0] ｛ f(n-1)(t) ｝ dt ここで ∫[1～0] ｛ t * f'(n-1)(t) dt ｝ = a(n) ∫[1～0] ｛ f(n-1)(t) ｝ dt = b(n) とおく。 fn(x) = 3a(n)x^2 + 3b(n) a(n)とb(n)を求めれば、fn(x)がわかります。 f(n-1)(x) = 3a(n-1)x^2 + 3b(n-1) f(n-1)'(x) = 6a(n-1)x です。 a(n) =∫[1～0] ｛ t * f'(n-1)(t) dt ｝ = 2a(n-1) b(n) =∫[1～0] ｛ f(n-1)(t) ｝ = a(n-1) + 3b(n-1) a(n) = 2a(n-1) より、｛a(n)｝は初項 a(1) = 4/3 、公比2 より、a(n) = 2^n+1/3 ここで、分からないところがあります。a(1) = 4/3 とありますが、どうやって求めたんでしょうか? そもそも、a(1)があること自体に疑問があります。f(n)xのnとa(n)のnは同じ数(n)です。 しかし、このf(n)xは成り立つのは (n=2,3,4,・・・)とかいてあります。 つまり、a(2)からしかない？と思ってしまいました。 b(n)にしても、初項の求め方が分かりません。 このあたりのことを教えてください。
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補足
(1)は帰納法で解くというところまでわかっております。nに1,k,k+1を代入したところ、それぞれf(x)=-1/1+x , f^k(x)=(k-1)/(1+x)^k , f^(k+1)(x)=(-1)^k-1 ×k!/(1+x)^k+1 となりますが、それぞれどう成り立つのかがわかりません (2)は考え方自体が分かりません