数学の問題を教えてください。

質問

数学の問題を教えてください。
[問題]
トランプを50回引く(引いたトランプは元に戻す)ときハートのカードが20回出る確率を二項分布の式および二項分布の正規近似によって求めよ。また、25回以上ハートが出る確率を確率を二項分布の正規近似により求めよ。

回答No.1

stomachman

n枚のカードから成る組にk枚の「ハートのカード」が含まれていて、この組から１枚を引く、という試行を50回繰り返す。しかし、この種の問題には「毎回無作為に」とか「毎回ランダムに」などの語句が必ず含まれているものです。この条件は極めて重要であり、たとえばカードに印を付けておいて毎回同じのを引く、ということをやったら全然違う話になりますからね。ところが、ご質問にはその語句がない。ですから、「こんなもん計算できない」というのが答です。
　ま、そこは百歩譲って、ご質問を書く際に、問題文に元々あった「毎回ランダムに」という条件を写し損なったのだとしましょうか。するとその条件から、ある1回の試行で「ハートのカード」が出る確率pはp=k/nであり、「ハートのカード」が出ない確率qはq=1-pであること、また、ある試行で「ハートのカード」が出るかどうかは、前にやったどの試行の結果とも無関係であること、が言えて、ようやく確率の問題として成立します。
　このとき、「m回の試行中、丁度h回「ハートのカード」が出て、あとの(m-h)回はそうではなかった」ということが生じる確率は、m回中どのh回で「ハートのカード」が出るかという場合の数 mChと、pがh回生じたという確率と、qが(m-h)回生じたという確率とをかけ算すれば良いので、これは二項分布に他なりません。
　一方、試行の回数mが大きいとき、二項分布は正規分布で近似できる。すなわち、ある正規分布であって、その平均と分散が、近似しようとする二項分布の平均と分散に一致する、そういう正規分布を使うのです。これがご質問にある「正規近似」の意味です。
　「25回以上ハートが出る確率」とは、本来（丁度25回ハートが出る確率)+（丁度26回ハートが出る確率)+…+（丁度50回ハートが出る確率)ということではあるけれども、そういう風に計算する代わりに、「正規近似」をした上で正規分布の累積分布表を使えばとても簡単になります。