• ベストアンサー

数学の問題です。

統計学のことで質問があります。自分でやってみたのですが、答えまで、たどりつかなくて、困っています。どうか解答、解説をよろしくお願いします。 問題:確率変数Xが2項分布Bn(12,0.4)に従うとき、確率P(3<X<=6)を計算せよ。また、この確率を2項分布の正規近似を用いて計算し、正確な確率と比較せよ。 教科書の解答:正確な2項分布の確率P(3<X<=6)=0.616は正規分布の確率P(3.5<Y<=6.5)=0.620で近似される。ただし、上限と下限は半整数補正を行っている。

  • wfak
  • お礼率78% (11/14)

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)
回答No.1

問題:確率変数Xが2項分布Bn(12,0.4)に従うとき、確率P(3<X<=6)を計算せよ。 >P(12,k)=(12Ck)*0.4^k*0.6^(12-k)だから P(3<X<=6)=∑(k=4→6)(12Ck)*0.4^k*0.6^(12-k) =(12C4)*0.4^4*0.6^8+(12C5)*0.4^5*0.6^7 +(12C6)*0.4^6*0.6^6 =495*0.4^4*0.6^8+792*0.4^5*0.6^7+924*0.4^6*0.6^6 ≒0.6165 また、この確率を2項分布の正規近似を用いて計算し、正確な確率と比較せよ。 >nが十分大きいとき,二項分布B(n,p)は、 正規分布N(np,npq)で近似出来るので、 Bn(12,0.4)はN(μ=4.8,σ^2=2.88)で近似出来ることになる。 そしてP(3<X<=6)は半整数補正(備考)により、 N(μ=4.8,σ^2=2.88)のP(3.5<X<=6.5)となる。 N(μ=4.8,σ^2=2.88)のP(3.5<X)は標準正規分布N(0,1)では P((3.5-4.8)/√2.88≒-0.77<X)になる(これをP1とする)。 同じくN(μ=4.8,σ^2=2.88)のP(6.5<X)は標準正規分布N(0,1) ではP((6.5-4.8)/√2.88≒1.00<X)になり、これをP2とすると 求める確率はP1-P2となる。標準正規分布によりP(0.77<X) は0.2206なのでP1=0.5-0.2206+0.5=0.7794。 同じくP(1.00<X)は0.1587なのでP2=0.1587。 よって、求める確率はP1-P2=0.7794-0.1587=0.6207となる。 (備考)半整数補正 http://upo-net.ouj.ac.jp/tokei/xml/kw1_01111.xml より抜粋。 「確率変数Xがとる値x1,x2,・・・・・が整数のとき,a<bをみたす 任意の整数a,bに対してa≦X≦bである確率P(a≦X≦b)は P(a-0.5≦X≦b+0.5)にあたる. 確率を連続な分布の確率で近似するとき,この後者の範囲を 利用すると近似の精度は通常よくなる.これを半整数補正という」 (参考) http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakuc/toukei/norbin/norbin.htm

wfak
質問者

お礼

丁寧な解説をありがとうございます。

関連するQ&A

  • 大学数学(統計)

    大学の統計の問題です。自分でやってみたのですが、できなくて困っています。どうか、解答、解説をよろしくお願いします。   問題:確率変数Xが2項分布Bn(50,0.1)に従うとき,確率P(X<=3)を計算せよ。また、この確率を2項分布のポアソン近似を用いて計算し、正確な確率と比較せよ。 教科書の解答:正確な2項分布の確率 P(X<=3)=0.25はポアソン分布の確率P(Y<=3)=0.265で近似される。

  • 大学数学 統計学

    [至急] 大学の統計学の問題なのですが,よろしければ模範解答を教えていただきたいです。確率分布の中でも最重要な,統計の基本となる「二項分布」や「正規分布」についての問題です。どうかよろしくお願いいたし ます。 問題 サイコロを30回投げたとき5の目が出る回数をXとする.このとき,4≦X≦6の確率を,次の2通りで求めよ. ⑴ 二項分布(10.1)を利用して,P(4≦X≦6)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)を求める. ⑵二項分布の正規分布の半整数補正による近似(10.3)'を用いてP(4≦X≦6)を求める.

  • 確立統計の問題です。模範解答を教えてください。

    確立統計の問題です。模範解答を教えてください。 ・問題1 サイコロを30回投げたとき5の目が出る回数をXとする.このとき,4≦X≦6の確率を,二項分布の正規分布の半整数補正による近似[以下の画像に載っている式]を用いてP(4≦X≦6)を求めよ. ・問題2 サイコロを3,000 回投げたとき,1の目が564回出た.このサイコロは正常でないと言えるか.

  • 統計の問題がわかりません。

    統計の問題です。 途中まで解こうと試みましたが解答・解説が無いため不可能でした。 わかる方助けて下さい。 xを二項分布B(400,p)に従う確率変数とし、p^=x/400の分布を正規分布で近似するものとする。 1)p^の分布を近似する正規分布の平均と分散を示せ。 2)x=80の時、pの近似的95%信頼区間を求めよ。 3)仮説H0:p=0,5を対立仮説H1:p>0,5に対して有意水準0,05で検定するときの棄却域を求めよ。 4)3)の検定についてp=0.55の時の検出力の求め方を示せ。 途中まで作成を試みた解答 1) 二項分布なので(np,npq)の平均と分散になると思い、平均:np=400×(x/400)=x 分散:npq=x(400-x)/400 これは間違いでしょうか? 2)で1)を用いるとP(|x-x|<1.96)=0.95??となるような??? よろしくお願いします。

  • 数学の問題を教えてください。

    数学の問題を教えてください。 [問題] トランプを50回引く(引いたトランプは元に戻す)ときハートのカードが20回出る確率を二項分布の式および二項分布の正規近似によって求めよ。また、25回以上ハートが出る確率を確率を二項分布の正規近似により求めよ。

  • (1)二項分布を正規近似するとき、半目補正は必須でしょうか?

    (1)二項分布を正規近似するとき、半目補正は必須でしょうか? テキストにはした場合と、しない場合が解としてあるのですが。 (2)2択問題を100題ランダムに解答して80以上の正解確率を求める問題なのですが、 B(100,1/2)よりN(50,5^2) P(X>=80)=P(Z>=6)=1-P(Z<=6) となり、正規近似しようにも分布表は4.5までしか載っていないのですが、どこか間違えたのでしょうか? よろしくお願いします。

  • 確率・統計

    統計学の問題です。答えがだせなくて、困っています。どうか解答、解説をよろしくお願いします。 問題:確率変数Xが2項分布Bn(10,0.4)に従うとき,Xが母平均μから2以上離れる確率P(|X-μ|>=2)を求めよ。 教科書の答え:0.334

  • 統計学についての質問

    「確率変数Xが2項分布(12、2)に従うときP(X=k)、  (k=0~12)の値の一つ一つを正規近似して相対誤差を求めよ。ただし真の値に対する誤差の絶対値の%を相対誤差とする。」 という問題で、自分はkが0~12までは2項分布、kが-0.5~0.5、0.5~1.5、という感じでやっていくのは正規近似、というやり方でやっていますが(n=12, p=1/2) 、二項分布で求める値が真の値、正規分布で求める値が近似値であるとすると、 k=0のときを考えた場合、 真の値がおよそ0.00024414062、近似値が0.00062となってしまい、誤差はこの差の絶対値を取るものなので、計算すると0.00037585938となり、 相対誤差は0.00037585938÷0.00024414062=およそ1.539522となってしまいます。計算ミスではなく、やり方が間違っているのだと思いますが、どこがどのように間違っているのか、どなたか教えて頂けたらと思います。よろしくお願いします。

  • 二項分布とポアソン分布、それぞれで求まる確率が2倍も異なるのですが

     こちらに計算ミスがあれば、誠に申し訳ありません。  二項分布とポアソン分布、それぞれで求まる確率が2倍も異なるので、困っています。  次のような問いがあるのです。 「くじが当たる確率は1%であり、5回くじを引くとする。当たりが3回出る確率を、ポアソン分布を用いて近似的に計算せよ。」  二項分布でも解けなくはない問いです。  5C3×1%×1%×1%×99%×99%=0.000009801  ところがこれを、ポアソン分布を用いて計算せよとのことですので、  ポアソン分布の確率関数p(x)は、λ(ラムダ)を用いれば、  自然対数の底eのマイナスλ乗と、λのx乗との積を、xの階乗で除した式で表されますので、  (あえて関数式を書けば p(x)=(λ^x)*exp(-λ)÷x! )  λ=0.05を代入し、p(3)を求めればよいわけですから、  p(3)= 0.05^3 × exp(-0.05) ÷ 3!    ≒ 0.000125 × 0.9512 × 6    ≒ 0.0000198  と求まります。  これでは、ポアソン分布を用いて近似的に計算せよと言いながら、求まる確率が2倍も違う点で、とても近似的に計算しているとは思えません。  ポアソン分布の関数式を覚えていないもしくは度忘れした解答者がとりあえず二項分布で解いてみても採点者は一発で間違いと分かるように数値を設定したと考えることもできますが、ポアソン分布の精度が疑わしくなります。  あるいは、こちらの計算ミスがあれば、気づかずにいるミスを直ちに改めたいと思いますので、どなたかお答えを願います。

  • 数学できる方教えてください

    統計学の授業の課題なんですけどわからないところがあったので質問です標準分布表を使うことはわかるんですけど計算手順がわかりません教えてくださいお願いします! 確率変数 X が正規分布 N (6, 22 ) に従うとき,次の条件を満たす λ の値を求めよ. (1) P(X ≥λ)=0.119 (2) P(0≤X ≤λ)=0.566