数学 積分

質問

(1)I=∬D tan[{π(x^2+y^2)}/4]dxdy D：0≦x^2+y^2≦1
(1)は極座標変換を用いること
(2)I=∬D zsin[{π(x^2+y^2+z^2)}/2]dxdydz D：0≦x^2+y^2≦1,0≦z≦1
(2)は円柱座標変換を用いること
(3)I=∬D 1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)dxdydz D：1≦x^2+y^2+z^2≦16,x≧0,y≧0,z≧0
(3)は球面座標変換を用いること

回答、よろしくお願いします

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

(1)
I=∬D tan[{π(x^2+y^2)}/4]dxdy, D：{(x,y)|0≦x^2+y^2≦1}
極座標変換 x=rcosθ, y=rsinθを用いると
D：{(x,y)|0≦x^2+y^2≦1}　→　E：{(r,t)|0≦r≦1, 0≦θ≦2π}
dxdy=rdrdθ
であるから

I=∬[D] tan[{π(x^2+y^2)}/4]dxdy=∬[E] tan[{π(r^2)}/4] rdrdθ
=∫[0, 2π] dθ∫[0,1] tan[{π(r^2)}/4] rdr
=2π∫[0,1] tan[π(r^2)/4] rdr

π(r^2)/4=tとおいて置換積分する。
　(π/2)rdr=dt, rdr=(2/π)dt
　r：0→1⇒ t：0→π/4
であるから

I=2π∫[0,π/4] tan(t) (2/π)dt
=4∫[0,π/4] sin(t)/cos(t) dt

t：[0,π/4]より 1/√2≦cos(t)≦1であるから
合成関数の積分公式を適用して
=4[-log(cos(t)] [0,π/4]
=4[log(1)-log(1/√2)]
=4log(√2)
=2log(2)　…(答)

(2)
I=∬[D] zsin[{π(x^2+y^2+z^2)}/2]dxdydz, D：{ 0≦x^2+y^2≦1,0≦z≦1}
円柱座標変換　x=rcosθ, y=rsinθ, z=z を用いること
　D：{0≦x^2+y^2≦1,0≦z≦1} → E：{(r,θ, z)|0≦r≦1, 0≦z≦1, 0≦θ≦2π}
　dx,dy,dz= rdrdθdz
　sin[{π(x^2+y^2+z^2)}/2]=sin[{π(r^2+z^2)}/2]
であるから
I=∬[E] zsin[{π(r^2+z^2)}/2] rdrdθdz
=∫[0,2π]dθ∫[0,1] zdz∫[0,1] sin[{π(r^2+z^2)}/2] rdr
=2π∫[0,1] zdz∫[0,1] sin[{π(r^2+z^2)}/2] rdr

rについて合成関数の積分公式を用いる。
=2π∫[0,1] zdz∫[0,1] (1/π)[d({π(r^2+z^2)}/2)/dr] sin[{π(r^2+z^2)}/2] dr
=2∫[0,1] zdz∫[0,1] [d({π(r^2+z^2)}/2)/dr] sin[{π(r^2+z^2)}/2] dr
=2∫[0,1] zdz[-cos({π(r^2+z^2)}/2)] [r：0,1]
=2∫[0,1] z{cos(πz^2/2)-cos(π(1+z^2)/2)} dz
=2∫[0,1] z{cos(πz^2/2)+sin(πz^2/2)} dz
zについて合成関数の積分公式を用いる。
=2∫[0,1] {zcos(πz^2/2)+zsin(πz^2/2)} dz
=2∫[0,1] {(1/π)(πz^2/2)' cos(πz^2/2)+(1/π)(πz^2/2)' sin(πz^2/2)} dz
=(2/π)∫[0,1] {(πz^2/2)' cos(πz^2/2)+(πz^2/2)' sin(πz^2/2)} dz
=(2/π) [sin(πz^2/2)-cos(πz^2/2)] [0,1]
=(2/π) [sin(π/2)-cos(π/2)-0+1]
=4/π　… (答)

(3)
I=∬[D] 1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)dxdydz
D：{(x,y,z)|1≦x^2+y^2+z^2≦16,x≧0,y≧0,z≧0}

球面座標変換
x=rcosφsinθ, y=rsinθsinθ, z=rcosθ
を用いること
D ⇒　E：{(r,θ,φ)| 0≦r≦4, 0≦φ≦π/2, 0≦θ≦π/2}
dxdydz=(r^2)sinθ drdθdφ
I=∬[E] (1/r)(r^2)sinθ drdθdφ
=∫[0,4] rdr∫[0,π/2] sinθｄθ∫[0,π/2] dφ
=([r^2/2][r：0,4])([-cosθ][θ：0,π/2])(π/2)
=8(π/2)[cos0-cos(π/2)]
=4π　… (答)

お礼

ありがとうございます！