対数の大小の比較について教えてください。

質問

２/３，３/4，log(3)6，log(5)10

（）内の数字は対数です。

２/3の読み方は二分の三です。

これらの数字の大小を比較するという問題です。

よろしくおねがいします。

回答No.5

QoooL

２／３　の読み方は二分の三ではなく　三分の二　ですよね（＾＾；）

下の２つの常用対数は覚えていた方が良いです。

log(10)_２＝０．３０１０　（ログ２はミレーテン）
log(10)_３＝０．４７７１　（ログさんは死なない）

log(3)_Ｘ
このＸが真数ですね。
ちなみに３は「対数の底」です。

Ｘが底より大きいとき、log(3)_Ｘ　は１より大きくなります。
log(5)_Ｘ　も同様です。
これで、左の２つの分数（１より小さい）と大小比較できますね。
（分数書いてあるのがほとんど意味ないのですけれど、書き間違いありませんか？）

log(3)_６　と　log(5)_１０　ですが、上に書いたミレーテンなどを知らなくても、小数の割り算も何もせず大小比較ができます。

log(3)_６＝log(3)_（２・３）＝log(3)_２　＋log(3)_３＝log(3)_２　＋１
log(5)_１０＝log(5)_（２・５）＝log(5)_２　＋log(5)_５＝log(5)_２　＋１

ということは、
　　log(3)_２　と　log(5)_２　の大小比較
なわけです。
　　真数が同じで、真数が１より大きい時は、
　　底が大きいほど、対数は小さくなります。

これは、迷いそうなら、
　　log(10)_１００　と　log(100)_１００　の大小比較
をしてみればわかるでしょう。
　　log(10)_１００＝２
　　log(100)_１００＝１

あえて答えは書きませんので、ルールに基づいて大小を考える訓練をしてみてください。

ただ、逆に
　　真数が１より小さい時は、
　　底が大きいほど、対数も大きくなる
ので注意してください。例えば
　　log(1/4)_（１／１６）＝２
　　log(1/2)_（１／１６）＝４
で、底が10や100の場合と逆です。

ちなみに
　　log(10)_（１／１００）＝－２
　　log(100)_（１／１００）＝－１
で、やはり
　　真数が１より大きい時は、
　　底が大きいほど、対数は大きくなります。
ご自分で手を動かすと勉強になるでしょう。
　　log(1/4)_４＝－１
　　log(1/2)_４＝－２
も同様です（底が大きいほど、対数は小さくなる）。

ちなみに、
先ほどのご質問で、「logの対数は3で、次のlogの対数は10で」とおっしゃっていたのは「対数の底は3で」ですね。

先の回答者の方が真数条件　Ｘ＞０、Ｙ＞０　について確かめていらっしゃいませんでしたが、方程式から出てきた解がこの条件を両方満たす、ということは必ず必要、ということを補足しておきます。