対数の大小の比較について教えてください。

質問

２/３，３/4，log(3)6，log(5)10

（）内の数字は対数です。

２/3の読み方は二分の三です。

これらの数字の大小を比較するという問題です。

よろしくおねがいします。

回答No.3

noname#195146

>２/３，３/4，log(3)6，log(5)10

　対数関数から手を付けて行きます。

log(3)6=log(3)(3×2)=(log(3)3)+log(3)2=1+log(3)2　―(1)
log(5)10=log(5)(5×2)=(log(5)5)+log(3)2=1+log(5)2 ―(2)

　対数関数はどんな底でも真数が1で0、1より大きければ正の値です。ですから、log(3)6log(5)10も1より大きく、2/3, 3/4より大きいことは明らかです。

　すると、log(3)2とlog(5)2のどちらが大きいかを決定すればよいことになります。割り算を使ってみましょう。

{log(3)2}/{log(5)2}
={log(3)2}/[{log(3)2}/log(3)5]　←対数の底の変換公式をlog(5)2に使い、底を3にした
=log(3)5

　対数関数は単調増加です（真数が大きいほど、対数の値も大きい）。底が3のとき、同じ3でlog(3)3=1ですから、それより大きい5のlog(3)5は1より大きくなります。

　ということは、log(3)2もlog(5)2も正であることも使えば、

{log(3)2}/{log(5)2}＞1
∴log(3)2＞log(5)2

となります（真数が同じなら底が小さいほど対数の値が大きいことをいきなり使ってよいのであれば、最後の不等式だけでよい）。

　これを式(1)(2)に使って考えると、log(3)6＞log(5)10が分かります。ですので、

2/3＜3/4＜log(5)10＜log(3)6

となります。