意外と面倒かもしれない高校数学

質問

x、yが、1≦x≦3、－4≦y≦－2の範囲の全ての値を取っている。
この時、(x+y)*{(y/x)－(x/y)}の取りうる値の範囲を求めよ。

回答No.4

staratras · ベストアンサー

出題者の意図に合致するかどうかはわかりませんが、以下の解法は一応高校の数学の範囲内だと思います。x,yの2変数では扱いづらいので１変数で扱えるよう考えました。

題意は1≦x≦3　-4≦y≦-2　…(1)を満たすすべての（x,y)の組について(x+y)*{(y/x)－(x/y)}…(2)がとる範囲を求めることですが、(2)を変形するとf(x,y)=((y-x)(y+x)^2)/xy　…(3)となりますのでこれで考えます。

まず(1)を満たす領域を通る直線たち　x+y=k …(4) ただし-3≦k≦1　を考えるとこの直線上のすべての(x,y)は(4)を満たす。

k=0 すなわちx+y=0 のときf(x,y)=0 となり(3)においてy-x<0、xy<0 よりf(x,y)≧0 だからこれが最小値となる。…（０）

一方k≠0のとき(3)はf(x)=(-2(k^2)x+k^3)/x(k-x) …(3)’となり、これをxで微分するとf'(x)=(-2(k^2)x^2+2k^3x-k^4)/x^2(k-x)^2=(-2k^2)((x-k/2)^2+3k^2/4))/x^2(k-x)^2<0　

したがってk≠0のとき(1)を満たす領域で直線(4)上にある(x,y)については、(3)’は連続でありxについて単調に減少するため、xの最小値に対応するf(x)の値がそのkにおける最大値となる。

（１）直線x+y=kが線分PQと交わるとき、すなわち-1≦k≦1(ただしk≠0)のとき、(3)'の最大値を与えるのはxが最小となるy=-2のときだから(3)はf(x)=(-2-x)(x-2)^2/-2x=(x+2)(x-2)^2/2x …(4)　 xで微分するとf'(x)=x-1-4/x^2 この符号がx=2の前後で負から正に変化することに留意して (4)の増減を1≦x≦3　で調べると　f(1)=3/2 が最大値である。

（２）直線x+y=kが線分QRと交わるとき、すなわち‐3≦k≦-1のとき(3)'の最大値を与えるのはxが最小となるx=1のときだから(3)はf(y)=(y-1)(y+1)^2/y …(5)　yで微分すると　f'(y)=2y+1+1/y^2　(5)の増減を　-4≦y≦-2　で調べると　この範囲ではf'(y)<0 だから　f(-4)=45/4 が最大値である。

（０）（１）（２）をまとめるとx+y=0を満たすすべての(x,y)(ただし2≦x≦3)のとき最小値0、(x,y)=(1,-4)のとき最大値45/4となる。

お礼

回答有難うございます。
この方法が、高校生には適切な方法と思います。
それにしても、意外と面倒で、考えさせられる問題でした。

回答No.5

spring135

面白い問題ですね。入試に出ることを想定して回答を考えてみました。

しかし、本質的には高校の範囲を超える偏微分の考え方を用いてることをあらかじめ申し上げておきます。

もちろん、回答の中でexplicitに偏微分という言葉が出てくるわけではありません。

設問　：　1≦x≦3、－4≦y≦－2のときz=(x+y)*{(y/x)－(x/y)}の値域を示せ。

回答

zは領域1≦x≦3、－4≦y≦－2において連続的な曲面Sを構成する。

これをy=c(定数)という面で切断するときこの面上に

Z1=(x+c)*{(c/x)－(x/c)}　(－4≦c≦－2)

によって表される曲線Cを描き、Cを並べることでSが形成される。

Sの値域はCの値域をcの値に応じて逐次追跡することにより得られる。

従ってZ1の変化がわかればよい。

Z1=(x+c)*{(c/x)－(x/c)}=(-1/c)(x+c)^2*(1-c/x)

dZ1/dx=-(x+c)(2x^2-cx+c^2)/cx^2

2x^2-cx+c^2=2(x-c/4)^2+7c^2/8は－4≦c≦－2より常に正

x^2も常に正。

Z1の増減は、dZ1/dxの正負によって示され、c<0であることに注意すると

Z1の増減は(x+c)の正負によって決まり、x<-cで負、x=-cで0、x>-cで正、従って

Z1はx<-cで減少、x=-cで最小、x>-cで増加である。

さて、x=-c=-y、従ってx+y=0の線上においてzは最小（最小値＝０）となり

一本の曲線C上においてはx=-cから遠ざかるほどZ1の値は大きくなる。

領域1≦x≦3、－4≦y≦－2、およびx+y=0をxy平面上に書いてみると分かるように

zの最大値はx=1において現れる。従ってその最大値は、

Z2=(1+y)(y-1/y)=(y+1)^2*(1-1/y)の最大値として与えられる。

dZ2/dy=(y+1)(2y^2-y+1)/y^2

－4≦y≦－2においてはdZ2/dy＜０

従って最大値はy=-4のとき出現し、その値は45/4

お礼

回答有難うございます。
偏微分の考え方を用いる事は、高校生には説明が難しいです。

回答No.3

naniwacchi

こんにちわ。
まず質問はどういう内容ですか？
問題文が書かれているだけで、質問の体をなしていないのですが・・・

#2さんの回答だと、確かに「では、そのグラフはどうやって描いた？」という話になると思います。

たとえば、わかりやすいように Y= -yとでも置き直して、
「正の数を扱う問題に変えてしまう」という工夫があると思います。
幸い、xと yは独立して変化できるので、ある種定番の
「yを固定して(定数として扱い)、xの増減を調べる」

ということも考えられるはずです。
図形的にいえば、x軸方向にスライス(輪切り)して考えているイメージです。
現にこの方法を使えば、x= -yのときに最小値 0をとることは示ますし、最大値を与える値の組も求められます。

補足

回答有難うございます。

＞わかりやすいように Y= -yとでも置き直して

それでは解決にならないと思います。

回答No.2

info222_

z=f(x,y)=(x+y){(y/x)-(x/y)}=(x+y)(y^2-x^2)/(xy)
=(y-x)(x+y)^2/(xy) …(1)
1≦x≦3、-4≦y≦-2 …(2) より y-x<0, xy<0, (x+y)^2≧0なので
　z=f(x,y)≧0 …(3)

z=f(x,y)の曲面のグラフの概形を描くと添付図のようになるから、
領域(2)におけるzの最小値は
　領域(2)における線分AB(y=-x,2≦x≦3)上の任意の点(x,y)で
最小値z=0をとる。
領域(2)におけるzの最大値は
　領域(2)における点(1,-4)で　最大値ｚ=f(1.-4)=45/4をとる。

領域(2)上の全ての点(x,y)に対して(1)のzの取りうる範囲は
　0≦z=f(x,y)=(y-x)(x+y)^2/(xy)≦45/4 …(答)
となる。

補足

回答有難うございます。
が、これは高校数学です。
その範囲での回答をお願いします。

回答No.1

gohtraw

(x+y)*{(y/x)－(x/y)}=(x+y)(y^2-x^2)/xy
=(y-x)(x+y)^2/xy
(x+y)^2は常にゼロ以上であり、また、ｙが常に負、ｘが常に正であること
から、、ｙ－ｘは常に負、ｘｙも常に負なので、上記の式の値は常に
ゼロ以上となる。よって最小値はゼロ。

今はここまで。

お礼

回答有難うございます。
回答の通り、最小値はすぐ出るんですが、最大値をどう求めるか。
見掛けによらず、意外と面倒です。