サインコサインの微積分と複素数の関係について

質問

普通の学力では理解できない深い関係があるのでしょうか。またオイラーの公式とも関係があるのでしょうか。いつも同じようなことをうかがって恐縮です。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

オイラーの公式とeの微分の単純な組み合わせに過ぎません

(e^{iθ})' = ie^{iθ}
に
e^{iθ}=cosθ+isinθ
を代入して，実部同士，虚部同士を比較すればいいのです

補足

i,-1,-i,1　の回転と微分でのサインコサインの入れ替わりもご教示と同じことなのでしょうか。

回答No.6

Water_5

私にとって＃４、＃５は数学の面白さを感じた瞬間でもありました。不思議な公式だな・・・・・・。と言う感じ。

お礼

私は不思議というより憧れを感じます。何とか自分なりに理解したいと思っております。

回答No.5

Water_5

sinθ
　　　cosθ　　　　　-cosθ
　　　　　　－sinθ

微分は反時計回りに回転する。
積分は時計回りに回転する。

しかしこれとオイラーの公式との関係はわかりません。

補足

高等学校で初めて習ったとき以来サインコサインは縦横の関係というイメージが消えません。このこととがうす空間の表示とが重なってしまっています。さらに微積分という、幾何学とはあまり関係がないような感じがするものも重なってしまっています。

回答No.4

Water_5

i
　　　－１　　　　　　　+1
　　　　　　　-i　　
i＝i
ixi＝-1
-1xi＝-i
-ixi＝+1
デわかるようにxiは反時計回転を意味します。
xiは
xi＝ｘe{iπ/２}なのでπ/２の回転を意味します。
上図の反時計の回転を意味します。

お礼

勉強してみます。ご教示ありがとうございます。

補足

これは一種の幾何学なのでしょうか？

回答No.3

kabaokaba

＞i,-1,-i,1　の回転と微分でのサインコサインの入れ替わりもご教示と同じことなのでしょうか。

そういうことです．

お礼

どこか勉強が足りないようですが、もう少し考えてみます。ご教示ありがとうございました。

回答No.2

Water_5

e^{iθ}＝cosθ＋isinθ・・・・・・（１）

(e^{iθ})' = ie^{iθ}
　　　　　　=i{cosθ+isinθ}
　　　　　　＝-sinθ＋icosθ・・・・・・（２）

お礼

ご教示を基に自分なりに理解できるように努力いたします。どうもありがとうございました。