並び、log、分数、指数などが含まれる問題について

質問

画像の問題についてですが、答案を見てもよくわかりません。

なぜa=5・(1/2)^14がa=10/2^15になるのか、b=2^21/3^20になるのか。

log10a=21log10 2-20log10 3になるのかなど、各所の途中なんでそうなるのかがイマイチわかりません。

どなたかわかりやすく教えて頂けないでしょうか？

回答No.3

gohtraw · ベストアンサー

底が何であるか明確にしていれば、底をいちいち書かなくても
ｌｏｇ（１０）３＝ｌｏｇ３　　（カッコの中が底）
と書いてＯＫです。

対数の底が１０なので、真数が１０であれば、ｌｏｇ１０＝１です。
また、ｌｏｇ３とｌｏｇ２の値が与えられているので、真数が３や２や
１０で表されれば、対数をとった時の計算が楽になります。

これを踏まえたうえで、
ａ＝５＊（１／２）＾１４
１／２という分数のままでもいいのですが、割り算の形にして
５／２＾１４
分母と分子に２をかけて
１０／２＾１５

ｂ＝２＊（２／３）＾２０
分数の形になっている２と３を分離して
２＊２＾２０／３＾２０
２をまとめて
２＾２１／３＾２０

ｃ＝６＊（３／５）＾２１
３／５の分母と分子に２をかけて
６＊（６／１０）＾２１
分数の形になっている６と１０を分離して
６＊６＾２１／１０＾２１
６をまとめて
６＾２２／１０＾２１
６＝２＊３なので
２＾２２＊３＾２２／１０＾２１

回答No.4

yyssaa

なぜa=5・(1/2)^14がa=10/2^15になるのか、b=2^21/3^20になるのか。
＞(1/2)^14は(1^14)/(2^14)=1/(2^14)だから
5*(1/2)^14=5/(2^14)
この分子と分母に2をかければ分子は5*2=10、分母は(2^14)*2=(2^15)
だからa=5*(1/2)^14=10/(2^15)
a=10/(2^15)の両辺の対数(底が10の対数:底を略して単にlogと書く)をとると、
log(a)=log{10/(2^15)}
ここで対数の公式：log(x/y)=logx-logy、log(x*y)=logx+logy、
logx^y=ylogx、log10=1(底が10のとき)を使うと、
log(a)=log{10/(2^15)}=log10-log(2^15)=1-15log2
=1-15*0.301=-3.515・・・・・(1)

b=2*(2/3)^20=2*(2^20/3^20)=(2*2^20)/3^20=2^21/3^20、よって
b=2^21/3^20
上と同様に両辺の対数(底は10)をとって
log(b)=log(2^21/3^20)=log2^21-log3^20=21log2-20log3
=21*0.301-20*0.4771=-3.221・・・・・(2)

c=6*(3/5)^21=6*(3*2/5*2)^21=6*{(3*2)^21/(5*2)^21}
=6*(6^21/10^21)=6^22/10^21=(3*2)^22/10^21
=(3^22)*(2^22)/10^21、よってc=(3^22)*(2^22)/10^21
上と同様に両辺の対数(底は10)をとって
log(c)=log{(3^22)*(2^22)/10^21}=log(3^22)+log(2^22)-log(10^21)
=22log3+22log2-21log10=22*0.4771+22*0.301-21=-3.8818・・・・・(3)

回答No.2

gohtraw

ａ＝５＊（１／２）＾１４＝５／２＾１４
分母、分子に２をかけても値は変わらないので、
５／２＾１４＝１０／２＾１５

ａの対数をとると（底は１０として記載は省略します）
ｌｏｇ（１０／２＾１５）＝ｌｏｇ１０＋ｌｏｇ（１／２）＾１５
　　　　　　　　　　　　　　＝１－ｌｏｇ（２＾１５）
　　　　　　　　　　　　　　＝１ー１５＊ｌｏｇ２

ｂ＝２＊（２／３）＾２０
　＝２＊２＾２０／３＾２０
　＝２＾２１／３＾２０
この対数をｔとると
ｌｏｇ（２＾２１／３＾２０）＝ｌｏｇ（２＾２１）－ｌｏｇ（３＾２０）
　　　　　　　　　　　　　＝２１＊ｌｏｇ２－２０＊ｌｏｇ３

ｃ＝６＊（３／５）＾２１＝６＊（６／１０）＾２１
　＝６＊６＾２１／１０＾２１＝６＾２２／１０＾２１
　＝２＾２２＊３＾２２／１０＾２１
この対数をとると
ｌｏｇ（２＾２２＊３＾２２／１０＾２１）＝ｌｏｇ（２＾２２）＋ｌｏｇ（３＾２２）－ｌｏｇ（１０＾２１）
　　　　＝２２＊ｌｏｇ２＋２２＊ｌｏｇ３－２１＊ｌｏｇ１０
　　　　＝２２＊ｌｏｇ２＋２２＊ｌｏｇ３－２１

使う公式は
ｌｏｇ（ｘｙ）＝ｌｏｇｘ＋ｌｏｇｙ

ｌｏｇ（ｘ／ｙ）＝ｌｏｇｘ－ｌｏｇｙ

ｌｏｇ（ｘ＾ｙ）＝ｙ＊ｌｏｇｘ

ｌｏｇ（１／ｘ）＝－ｌｏｇｘ
などです。

補足

すいません、初歩的な事だとは思いますが、各abc=の最初の方の計算では２をかけているのでしょうか？
それと、log10は消してしまうということでいいでしょうか？

回答No.1

angkor_h

まづは、「a=5・(1/2)^14がa=10/2^15になる」の件は、

a=5 *(1/2)^14
=5* 2 *(1/2) *(1/2)^14
=10 *(1/2)^15
=10 * 1/(2^15)

上記は理解できますか?
このように、こまめに思考展開を経ないと、
ただ見つめるだけで理解できるはずがありません。

他の問題にも、同じように挑戦してみてください。