三角法

質問

Simplify the following

√(sec²θ-1)

私の答えは tanθになりましたが回答は Ι tanθ Ιと絶対値が付いています。
何故 絶対値　が付かないといけないのかわかりません。
説明して頂けますか？

回答No.7

shuu_01 · ベストアンサー

x^2 ＝ 9 の平方根を取ると

x ＝ ±3 となります

これは x ＝ ー3 の時も x ＝ 3 の時も x^2 ＝ 9 が
成り立つことを示しています

tan^2 θ ＝ 1 ー sec^2 θ　の平方根を取ると

tan^2 θ ＝ ±√（ 1 ー sec^2 θ）となります

これは tan θ が　 ー√（ 1 ー sec^2 θ）の時も
√（ 1 ー sec^2 θ）　の時も成り立つことを
示しています

ここで、√（ 1 ー sec^2 θ）の値はどうなるか
というと、θがどんな値でも、＋ にしかなりません

それに対し、tan θ は
0 ≦ θ ≦ π などの時は　tan θ ≧ 0
ーπ ≦ θ ≦ 0、π ≦ θ ≦ 2π などの時は　tan θ ≦ 0
となり、場合分けが必要となります

というか、｜tan θ｜　とおくと、場合分けが必要と
ならないので、 ｜tan θ｜　の方が simple だし、
今回の解答になったのだと思います

僕だと解答を見ないと　 ｜｜　を思い浮かばないので、

0 ＋ 2πn ≦ θ ≦ π＋2πn の時は　tan θ ≧ 0
ーπ＋2πn ≦ θ ≦ 0＋、π＋2πn ≦ θ ≦ 2π＋2πn の時は　tan θ ≦ 0
（n は整数）

とか場合分けして、解答してた気がします

お礼

私のレベルで説明して頂き大変わかり易いです、有難うございました。

補足

このご回答が一番分かり易かったのでBAに選ばせて頂きます。
他の回答者様達のお陰もあり分かる様になりました、有難うございました。

回答No.13

asuncion

＞√3 ＝ ー（ー√3）とするか、√3 ＝｜ー√3｜

いつも負号を付けるとは限らないので、
ここはやはり絶対値一択でありましょう。

お礼

ご回答有難うございました。

回答No.12

shuu_01

頭がこんがらがってる所に、いろんな回答があるとさらに頭がこんがらなってほどけなくなっちゃうかもしれませんね。ごめんなさい

【１】 （－３）^2 ＝ 3^2 ＝ 9 です
　　　平方根をとると
　　　√｛（－３）^2 ｝＝ 3 です
　　　でも、
　　　√｛（－３）^2 ｝＝ ー3 ではありません

【２】　sin 120°＝ √3/2
　　　　cos 120°＝ －1/2
　　　　tan 120°＝ ー√3
　　　　です

　　　√（sec^2 120°ー１）
　　　= √{（1/cos^2 120°）^2ー1}
　　　＝ √{（ー2）^2ー1}
　　　＝√3

　　　となり、tan 120°＝ ー√３ ではありません

　　　√3 ＝ ー（ー√3）とするか、√3 ＝｜ー√3｜

　　　としなくてはなりません

ＰＳ：　こんがらがった頭がほどかさりますように！

お礼

丁寧に説明して頂き本当に有難うございました。

回答No.11

asuncion

さっきの回答で書いた内容は、
すでにご自身で展開済みですよね。

もとの数が
-3
で、最終結果は
3
ですよね。
その間、どういう処理を
したのでしょうか。

絶対値を求めた

のではないでしょうか。

お礼

ご回答有難うございました。

回答No.10

asuncion

√(-3)^2
= √9
= 3
= ｜-3｜
は
もとの数
-3
にならないことに
そろそろ気づいて
くださると
うれしいです。

お礼

気がつきました、本当に勉強になりました。
過去投稿なども調べてみて　「平方根の 定義 　√a^2=|a| (aは実数) 」などもあるのだと学びました。
有難うございました。

回答No.9

shuu_01

No.8 さん、間違いの指摘ありがとうございます

＞　間違ってませんか？

自分の添付した y ＝ tan θ のグラフを見ても、
僕の間違い、明らかです

0 ≦ θ ≦ π/2 の時、tan θ ≧ 0
π/2 ≦ θ ≦ πの時、tan θ ≦ 0

でした。θ の範囲 決められてないと

0 ＋ nπ ≦ θ ≦ π/2 ＋ nπ の時、tan θ ≧ 0
π/2 ＋ nπ ≦ θ ≦ π ＋ nπの時、tan θ ≦ 0
（n は整数）

です。間違ってごめんなさい

回答No.8

info222_

No.5です。

＞No.6さん

>0 ≦ θ≦ π　などの時は tan θ ≧ 0
>－π ≦ θ ≦ 0　とか　π ≦ θ ≦ 2π　などの時は tan θ ≦ 0

は間違ってませんか？

tanθは第一象限と第三象限で正であり
第二象限と第四象限で負となります。

回答No.6

shuu_01

No.1 ～ No.3 の回答の通りなんですが、グラフを描いてみました

sin^2 θ + cos^2 θ ＝ 1

tan^2 θ + 1 ＝ 1 / cos^2 θ

1 / cos^2 θ － 1 ＝ tan^2 θ

±√1 / cos^2 θ － 1 ＝ tan θ　？

0 ≦ θ≦ π　などの時は tan θ ≧ 0

－π ≦ θ ≦ 0　とか　π ≦ θ ≦ 2π　などの時は tan θ ≦ 0

お礼

グラフで丁寧に説明して頂き有難うございます。
過去に　shuu　さんに作って頂いたグラフは今でも物凄く役立っていてわからなくなった時などしょっちゅう見直しています。

このグラフはわからないところも有りますがじっくり理解していきたいと思います。

回答No.5

info222_

√(sec²θ-1) =√(tan²θ)

ここで、ルートの定義から√（）≧0であるから

　tanθ≧0の場合　√(tan²θ)=tanθ(≧0)
　tanθ＜0の場合　√(tan²θ)=-tanθ(＞0)

絶対値を使えば、この２つをまとめることができて

　√(tan²θ)=|tanθ|(≧0)

となります。

>私の答えは tanθになりましたが
この答えは「tanθ＜0の場合」を含んでいませんので、正しくありません。
「tanθ＜0」の場合は　√(sec²θ-1) ＝-tanθ　となるからです。

お礼

有難うございます、アドバイス頂いた事、大体理解出来ます。
お陰でNO１さんが教えて下さろうとしていた事もわかる様になりました。

回答No.4

asuncion

与式をよくごらんください。
平方根のうち
正
の方を採用しています。

お礼

再度のご回答有難うございます。

時間をおいて又考えてみましたが何にもひらめきませんでした。

こちらへ戻ってきたら有難い事に沢山の新たなご回答を頂いているのでじっくり見てみます。

＞平方根のうち正の方を採用しています。

本当ですね、( )^2　→　√　　にする時は正負をつける様に最新の注意を払います。
でも√　から始まるこの問題ではそれには全く注意していませんでした。
今までこの様な問題に（√に正負が付いていない）どうやって対処してきたのかさっぱり覚えていません。
アドバイス有難うございます！

回答No.3

asuncion

絶対値をとったから
3
になった、ということに
気づいてください。
このとき、x は
-3
という負の値です。

お礼

√（－３）＾２　→　√９　→　３　　　

すみません、こんな風に私の頭の中では絶対値はこの式には入りません。
親切にアドバイス頂いてるのに理解出来なくて申し訳ないです。

今　頭の中がごちゃごちゃになってしまっています。
時々ひらめく事があるのでちょっと時間置いてからもう一度取り組んでみます。
アドバイス頂いた事を参考にして再び考えてみます。

有難うございました！