有限と無限は対応させられますか

質問

たとえば一本の直線に接する円を描いて、この円上の一点から半直線をはじめの直線と交わらせてできる交点を対応させた場合、これは表記の対応の一例になりますか。

回答No.2

ramayana · ベストアンサー

円の中心からみて接点の反対側の点を始点とするなら、ご質問の方法で、直線全体と円から始点を除いた部分が 1 対 1 で対応します。これは、単に 1 対 1 というだけでなく、位相同型でもあります。

もし、円から始点を除いた部分を「有限」と称し、直線を「無限」と称するなら、おっしゃる通りです。ただ、数学では、これらは、「有界集合」「有界でない集合」というべきです。

上のことは、「有限集合」や「無限集合」と全然違う概念なので、混同しないようにしましょう。

お礼

勉強させていただきます。ご教示ありがとうございました。

回答No.1

CC_T

円内（または円周上）の一点からその円の接線へ向かって下した垂線と接線との交点座標の事でしょうか。
その何が「無限」で何が「有限」に相当してどのように両者が「対応」するとお考えなのか、わかりません。

円の座標や半径が規定されている場合は、垂線と直線の交点の取りうる範囲は有限の範囲内にとどまり、「直線の無限性」は打消されます。逆に、円の座標や半径が不定の場合、円の存在自体が無限に規定できますから交点の範囲も無限に拡散する。つまり設問の内容においては「有限と無限の対応」は成り立っていないと見ますが、いかがでしょうか？

無限を有限の範囲で切り取って扱う事は出来ても、基本的に無限と有限を「対比」させるのは不可能です。
例外的に、例えば回転を扱う場合は無限と有限の「対応」は表せるかもしれません。例えば「45度」と、「45度＋（360×N）度」は等角度であると見なせますから。前者は有限の数、後者はNを整数値とのみ規定すれば「無限」の数と見て良いでしょうね。
この例のように、有限に対応する無限は１つではなく無限にあるってあたりが答えではないでしょうか…。

お礼

ご教示ありがとうございます。円周は有限ですが、直線は無限だとすれば・・・、と思いました。