e関数の変化率について

質問

次の問題に関して、質問があります。
ご指導のほど、よろしくお願いします。

問題
ＡｇのバクテリアＲは放っておくと、A=800e^-0.04t　の減り方で減っていきます。
バクテリアが、１００ｇになったときの減り方はどのくらいですか？

式
dA/dt = -32e^-0.04ｔ　　　　　　　　　------(1)

１００ｇのとき　800e^-0.04=100　 ------(2)
e^-0.04=1/8

dA/dt = -32x1/8　---(3)
答え =-4g/day

質問１
（１）は、導関数をだしたのでしょうか。

（２）は、「e^-0.04＝　」の部分を出したかったのでしょうか。
　　それとも、１/8の値を出したかったのでしょうか。

質問２
私が、勉強してきた教科書の問題では、
導関数のｘに、問題の中の数字を入れれば、出せた問題ばかりでした。
このような問題がとけるようになるには、
何の単元を勉強すればよいのでしょうか。

自分でも、色々な本を調べていますが、
このような文章題がでている本が見つからず
質問させていただきました。

回答No.1

hg3 · ベストアンサー

＞（１）は、導関数をだしたのでしょうか
はい、その通りです。
ｙ=e^ax を微分すれば、dy/dx=a*e^ax です。

従って、A=800e^-0.04t　を微分して
dA/dt = -0.004*800e^-0.04ｔ=-32e^-0.04ｔ

＞（２）は、「e^-0.04＝　」の部分を出したかったのでしょうか。
800e^-0.04t=100　の間違いでしょう。
Agの時、A=800e^-0.04t　なのですから、100gの時は、100=800e^-0.04t
両辺を800で割って、1/8=e^-0.04t となります。
これを(1)式に代入して、dA/dt = -32x1/8　です。

最後の答えが、-4[g/day]となってますから、ご質問の文には明記されていませんが、問題文のどこかにtの単位がdayであることの記載がありますよね。そうでないと最後の答えの単位が[g/day]であるとは断言できません。

＞質問２
何かの単元で習うものではありません。

単に、式の中のxに数字を入れるだけなら、その式の意味を理解してなくても計算方法さえ知っていれば答えが出せます。
しかし、このような文章問題を解くには、書かれている文章の意味を理解し、それを自分で数式化することが必要です。

例えばこの問題の場合、そもそも微分とは何かを理解していないといけません。

微分とは何かが分かっていれば、特に習わなくても、「バクテリアの量」を「時間」で微分すれば「バクテリアの減り方」を表すのだと理解できます。「バクテリアの量」がA、「時間」がtだから、dA/dtが「バクテリアの減り方」を表すのだと分かります。
それが分かっていれば、A=800e^-0.04t　を微分すれば、バクテリアの減り方を表す数式が導き出せることに気付くのです。

このようなことは、普段から、数式の意味を理解するとか、文章を数式化するという練習をしていないとできません。今後は、そうした意識をもって勉強するようにしましょう。

お礼

現在サポートで確認中のため、質問者本人のみ投稿内容をご覧いただけます。ご迷惑おかけいたしますが、しばらくお待ちください。

補足

おはやい回答、ありがとうございます。
なんとも、難しいことを、かみくだくように、
簡単に、説明していただき、ありがとうございます！
あなたさまのように、すっきりした頭脳が
うらやましいです。
おかげさまで、問題いがいで、
微分のことが、はっきりとわかりました。

私としても、文章を数式化できることを
熱望していますが、あなたさまは、
どのようにして、
文章を数式化できるように、
してきたのでしょうか。
本来は、その方法を
自分で見つけるべきだと思いますが
オーストラリアで、受験することになり、
時間がなくて困っていますので、
よろしければ、おねがいします。

回答No.4

hg3

No3の回答者さんの言う事はもっともなことですね。
確かに、問題文をきちんと読むと、No3の解釈もできますね。

しかし、この問題はおそらく次の意味だと思います。

バクテリアの量A[g]は、時間t[day]とともに、A=800e^-0.04t　に従って変化する。
バクテリアが１００ｇになった時のバクテリアの量の変化の速度（1日当たりのバクテリアの変化量）はいくつか？

そうであれば、答えはNo1の回答の通り　-4g/day　で合ってます。
ただし、「変化の速度」でなく「減る速度」と言ったなら「－」は取らないといけません。　

この方が、ご質問の文にある解答例ともつじつまが合います。

確かに問題文の書き方に、不適切な表現が有ることも事実ですから、問題の意味が分からなかったとしても仕方のないことでしょう。
しかし、この問題は、微分とは何かということを理解するためのものであることを分かっていれば、上記の解釈であることは容易に想像できます。
問題文の書き方の揚げ足を取って、答えを100ｇだと主張するより、そう解釈して式や解答を考えた方が微分を理解するための勉強になるでしょう。

回答No.3

stomachman

ずいぶん変な問題だな、と思います。

> Ａｇのバクテリア
> A=800e^-0.04t　の減り方で減っていきます

を見比べると、まず、最初の「A」とは「時刻0におけるバクテリアの質量」のこと。
　さて、二番目の「A」は式を見る限り「時刻tにおいてバクテリアの質量Aは A=800e^-0.04t グラムだ」という意味でしょう。これを普通に関数として書くなら
　　A(0)=800
　　A(t) = 800e^(-0.04t)
ってこと。（「答え」を見るまで、時刻tの単位がdayだとは分からない、というのも随分酷い話です。）
　しかし、だとすれば、A(t)を「減り方」と呼ぶのは異常な言葉遣いであり、出題者が阿呆なんじゃなかろうかという疑いが生じます。でも、出題者がそう呼ぶ事に決めたらしいから、受け入れるしかない。で、

> バクテリアが、１００ｇになったときの減り方はどのくらいですか？

　これは、A(T)=100となる時刻Tにおけるナニカについて尋ねている。で、そのナニカとは「減り方」である。「減り方」が再び出てきた訳で、ならばそれは、上記のA(t)を指す筈だから、A(T)について尋ねているのである。つまり、
「A(T)=100gのときA(T)は何グラムですか」
という馬鹿みたいな問いなのだから、100gが答でなくてはならない。

　ところが、(1)式はAのtによる微分。つまり、今度はA(t)ではなくAの導関数 dA/dt を「減り方」と呼んでいるらしい。この時点で、出題者は阿呆であることが確定です。
　ともあれ、導関数
　　a(t) = (-0.04)800 e^(-0.04t)
のTにおける値 a(T)
　　a(T) = (-0.04)800 e^(-0.04t)
を計算しようとしている。【ここはポイント→】つまり、時刻TにおけるA(t)の変化率（単位時間あたりの増え方）を計算してる。
　さて、(2)式はどう見ても間違っていて、
　　A(T)=100
になるTを計算するために
　　800e^(-0.04T) = 100
を解くという積もりなのでしょう。ただし【ここもポイント→】これを真面目に解いて T= …の形にしなくたって良い。なぜなら、最終的に欲しいのは
　　a(T) = (-0.04)800 e^(-0.04t)
　　= (-0.04)A(T)
なのだから、A(T)に100を代入するだけで話は終わり。(3)式はそれに気付かずヘタクソに計算をしている。
　「答え」は負の値になってますが、「減り方」が負なら、それは増えてるってことでしょうが！

　ってことで、ほんとに酷い問題だな。

　文章題においては、言葉を正確に読み正確に書くことを、（出題者も解答者も）うんと意識して注意しなくてはならない。これが最重要ポイントです。

お礼

１つ１つの式の細かい説明ありがとうございます。
この問題と式は、オーストラリアの参考書から、
抜き出したものですが、
やはり、日本の解答と違うのだなあと思いました。
私は、日本のサイトや参考書で
基本を勉強してから、
オーストラリアの参考書をしていますが、
日本の教え方とつじつまが
合わないときに、なぜ？
と思っていました。
やはり、解答のしかたが
違うのですね。
だから、日本的な解答の式と
合わなくても、がっかりしなくても
よい事がわかり、
楽になりました。
ありがとうございます。

式の違いが良くわかったのですが、
問題の考え方に関して、
違う方のほうが、
簡単に説明してくれていて、
数学レベルが低いわたしにも、
すっきり分かったので、そちらの方に
決めました。けれど、
同じように、親身なご指導、感謝しています。

回答No.2

hg3

>どのようにして、
>文章を数式化できるように、
>してきたのでしょうか。
>本来は、その方法を
>自分で見つけるべきだと思いますが

何か特別な”方法”があるわけではありません。
ですから方法を見つけるとか教えてもらうのでなく、何度も繰り返し自分で考える練習して自然とできるようになるしかないと思います

敢えてコツを言うなら、簡単な数字で計算式を考え、その計算式の数字を変数(文字）に置き換えるというくらいです。この場合でも、最初の計算式を考えるところは、結局、自分で考えるしかないのです。

お礼

現在サポートで確認中のため、質問者本人のみ投稿内容をご覧いただけます。ご迷惑おかけいたしますが、しばらくお待ちください。