【数学】フーリエ解析の問題について

質問

以下のフーリエ解析の問題３題がわかりません。わかる方がいましたら、途中式を含めて教えてください。

１．　f(x)は周期2πで、f(x)=0 (-π/2 ≤ x <π/2)、=　π/2 (π/2 ≤　x < π、-π ≤ x <-π/2)を満たすとする、このときf(x)のフーリエ級数を求め、その始めの部分和 s₀(x)、s₁(x)、s₃(x)、s₅(x)のグラフを書きなさい。

２．　次の周期2πの関数のフーリエ級数を求めよ。
f(x)=x^2 -π ≤ x ≤ π

３．　f(x)=e^(-2|x|)のフーリエ変換 F(ξ) を求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.3

info22_

No.2です。

ANo.2の(3)についての補足について
>3)につきましては周波数としての定義で合っています。

であれば　(3)の解答中の式や答えの中のfの全てについて、
fをξに置き換えていただくだけでよろしいじゃないですか？

簡単なことなので補足回答しませんでしたが、まだ締め切ってなかったので
念のため補足しました。

勿論、(答え)の
>F(f)=1/(1+(π^2)(f^2))
は
　F(ξ)=1/(1+(π^2)(ξ^2))
となりますね。

回答No.2

info22_

1
f(x)は偶関数なので
b[n]=0 (n=1,2,3, …)
a[0]=π/2
a[n]=(2/π)∫[π/2,π] (π/2)cos(nx)dx=[(1/n)sin(nx)][π/2,π]
=-(1/n)sin(nπ/2)cos(nx) (n=1,2,3, …)

f(x)=π/4-cos(x)+(1/3)cos(3x)-(1/5)cos(5x)+ … -(1/n)sin(nπ/2)cos(nx)- …

S[0](x)=π/4
S[1](x)=(π/4)-cos(x)
S[3](x)=π/4-cos(x)+(1/3)cos(3x)
S[5](x)=π/4-cos(x)+(1/3)cos(3x)-(1/5)cos(5x)
グラフはフリーのグラフィック・ソフトやエクセルを使って描けばいいでしょう。

2
f(x)は偶関数なので
b[n]=0 (n=1,2,3, …)
a[0]=(2/π)∫[0,π] x^2 dx=(2/π)[(1/3)x^3][0,π]=(2/3)π^2
a[n]=(2/π)∫[0,π] (x^2)cos(nx) dx
部分積分を繰り返して
a[n]=(2/π)[((1/n)x^2 -(2/n^3))sin(nx)+(2/n^2)cos(nx)][0.π]
　=((-1)^n)(2π/n^2) (n=1,2,3, …)

f(x)=(1/3)(π^2)-2πcos(x)+(π/2)cos(2x)-(2π/9)cos(3x)+ …
+((-1)^n)(2π/n^2)cos(nx)+ …

3
フーリエ変換の定義は何種類かあります。
各定義とξの関係がわからないのでどの定義を使ったらいいか回答者側ではわかりません。
問題（出題者）の意図している定義式を書くようにしてください。

とりあえずF(f)のfを周波数としてのフーリエ変換の定義を使って回答しておきます。
(参考URL参照)

F(f)=∫[-∞,∞] e^(-2|x|)e^(-i2πfx) dx
=∫[-∞,0] e^(2x)e^(-i2πfx) dx+∫[0,∞] e^(-2x)e^(-i2πfx) dx
=∫[-∞,0] e^(2x(1-iπf)) dx+∫[0,∞] e^(-2x(1+iπf)) dx
=(1/(2(1-iπf))) -1/(-2(1+iπf))
=1/(1+(π^2)(f^2))

参考URL：

http://www.crl.nitech.ac.jp/~ida/education/etc/FT/FT.pdf

お礼

回答ありがとうございます。
(3)につきましては周波数としての定義で合っています。説明不十分で申し訳ありませんでした。