Logの問題で疑問点です。

質問

いつも大変お世話になっております。
皆様のおかげで、だいぶ数学が分かってきました。
心よりお礼を申し上げます。

以下のことで少し混乱しているので、
ご教授頂けると幸いです。

まずはこの問題をご覧下さい。

log2(←小さい”2”です）ｘ＾2-2ｘ＝3

計算すると、答えはｘ＝4、-2となりますが、
この場合、ｘ＝-2は答えに含めていいんでしょうか。

また、

log3（←小さい”3”です）（ｘ-3）+log3（←小さい”3”です）(x+4)=log3（←小さい”3”です）8

こちらを計算すると、答えはｘ＝-5、4となりますが、
この場合、ｘ＝-5は答えに含めていいんでしょうか。

というのも、

log2（←小さい”2”です）（ｘ+3）+log2（←小さい”2”です）x=log2（←小さい”2”です）10

こちらの答えがｘ＝-5,2となるんですが、
この場合ｘ＝-5は答えに含めなくていいというのを知りました。

ｘの値が2つ出ても、なぜその内のひとつを「答えに含めない」のか、
その「答えに含める」または「含めない」条件を教えて頂ければ幸いです。

どうぞよろしくお願い致します。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>log[2](x^2-2x)=3
真数条件より x^2-2x=x(x-2)＞0より　x＜0 または x＞2
なので

>計算すると、答えはｘ＝4、-2となりますが、
>この場合、ｘ＝-2は答えに含めていいんでしょうか。

x=4,-2の両方共、真数条件を満たしていますので、両方共答えに含めないといけません。

>log[3](x-3）+log[3](x+4)=log[3](8)
(x-3)(x+4)=8 ⇔ x^2+x-20=(x+5)(x-4)=0 ⇔ x=-5,4

>こちらを計算すると、答えはｘ＝-5、4となりますが、

答えは真数条件を満たさないといけません。

>この場合、ｘ＝-5は答えに含めていいんでしょうか。

真数条件より 「(x-3)＞0 かつ (x+4)＞0」 ⇔ x＞3
です。
x=4は真数条件を満たすので答えに含めますが、
x=-5は真数条件を満たさないので答えに含めてはいけません。

>というのも、
>log[2](x+3）+log[2](x)=log[2](10)

>こちらの答えがｘ＝-5,2となるんですが、

真数条件を満たすものだけが答えになります。

>この場合ｘ＝-5は答えに含めなくていいというのを知りました。

真数条件は「x+3＞0 かつ x＞0」⇔ x＞0
なので、x=2は真数条件を満たすので答えになりますが、
x=-5は真数条件を満たさないので答えとして不適なので答えに含めてはいけません。

>ｘの値が2つ出ても、なぜその内のひとつを「答えに含めない」のか、
>その「答えに含める」または「含めない」条件を教えて頂ければ幸いです。

すでに上に書きましたが、問題の式中の対数の真数は全て正という条件（真数条件という）を満たさないといけません。対数の方程式や不等式が出てきたら、表立って書かれていなくても、真数条件を考慮にいれて解かないといけません。

更に、対数の底にも「対数の底の条件：１でない正の実数」があるので注意してください。

お礼

すごく分かりやすかったです。
読みながらマイノートを作らせて頂きました。
ありがとうございました。

回答No.4

Tacosan

えぇと....

いったいどこから
L2{-2) = L2{2) + iπ
なんてものが出てくるんでしょうか＞#3.

回答No.3

178-tall

>log2(←小さい”2”です）ｘ＾2-2ｘ＝3

log2 (←小さい”2”です) をL2 と略記。

そのまま式変形すれば、
　L2(x^2-2x) = 3
　　　↓
　2^3 = x^2-2x
その 2 つの解が何であれ L2(　) の括弧内は 8 だから、問題なし。

ところが右辺を因数分解してしまうと、
　L2(x^2-2x) = L2{x(x-2) } = L2{x) + L2(x-2) = 3
こうすると負解 x に疑念を生じる、というわけですね。

でも複素数領域で考えれば、
　L2{-2) = L2{2) + iπ
　L2{-4) = L2{4) + iπ
になり、
　L2{x) + L2(x-2) = L2{8) + i2π ≡L2{8) + i0 : mod(i2π) = 3
で no problems …。

テスト業界ならではの話題なのですかネ？

お礼

書き込みありがとうございます。

恥ずかしながら私自身が低レベルのためご説明がよく分かりませんでした（涙）。
分かるように頑張って勉強します。

回答No.1

Tacosan

「真数が正になるかどうか」で判断する.

お礼

ご解答ありがとうございます。
助かります。