非同次微分方程式の特殊解について

質問

非同次微分方程式の特殊解は

Ｑ(x)＝Ax^n　あるいは　Ｑ(x)＝Ax^n ＋ Bx^（n＋1） ＋…（ｎ次多項式の場合）

・特性方程式の解に0が無ければ、η(x)＝ｋx＾n ＋ ｌx＾（n＋1） ＋…＋ｍ
・特性方程式が単解0をもてば、　　η(x)＝ｘ（ｋx＾n ＋ ｌx＾（n＋1） ＋…＋ｍ）
・特性方程式が重解0をもてば…

などη(ｘ)の置き方がいろいろありますよね。
他にも、三角関数の時や指数関数の時など。

こういった特殊解は、覚え方などあるのでしょうか？
自力で丸覚えするしかないのでしょうか？

解き方は分かるのに、特殊解をη(x)＝…なんだったっけかな…と思うことがしばしばあります。

覚え方があるのなら教えて下さい。

回答No.1

kiyos06 · ベストアンサー

1)分からないときは、覚えていなくても解ける方法で解く。

2)d^2y/dx^2 +3dy/dx +2y =f(x)
3)y =e^(ax) zとする。
4)e^(ax) (d^2z/dx^2 +2adz/dx +a^2 z)
+3e^(ax) (dz/dx +az)
+2e^(ax) z =f(x)
5)a^2 +3a +2 =0となるaを選ぶ。a =-1
6)d^2z/dx^2 +dz/dx =e^x f(x)
7)dz/dx =vとする。
8)dv/dx +v =e^x f(x)
9)v =e^(bx) uとする。
10)e^(bx) (du/dx +bu)
+e^(bx) u =e^x f(x)
11)b +1 =0となるbを選ぶ。b=-1
12)du/dx =e^(2x) f(x)

13)y =e^(-x) ∫ e^(-x) ∫ e^(2x) f(x) dx dx

14)参考URLで右辺にf(x)を含む微分方程式は一般解・特殊解が積分で求まる。
14.1)積分を見て、特殊解を予測することもできる。
15)定数変化法等もある。
15.1)yahooやgoogleで「定数変化法」を検索する。

参考URL：

http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n237028