正6n角形の三つの頂点で作る三角形の個数は？
- 正6n角形の三つの頂点を結んで作る三角形の個数を求めたいです。
- 具体的には、正三角形・直角三角形・二等辺三角形の個数が知りたいです。
- ただし、目的の三角形を作るための三つの頂点の選び方をうまくnで表現することが難しいです。アイディアがあれば教えてください。
- ベストアンサー
凸正6n角形 の三つの頂点を結んで出来る三角形
お世話になっております。 正6n角形の三つの頂点を結んで以下の三角形を作る時、その個数はいくつか。 (1)正三角形 (2)直角三角形 (3)二等辺三角形 という問題について質問です。 自然数nに対して、求める個数をnで表すのに、目的の三角形を作るための三つの頂点の選び方をnを用いてうまく説明する事が出来ません。 一応n=1、n=2 の二つの具体例からかなり強引にnで表すことは出来たのですが、(2)(3)は等差数列を使いました。(1)はパッと見で作りました。 (1)2n (2)6n(3n-1) (3)2n(9n-5) が、推論としてはよろしくない気がします。二つの具体例だけで一般化して終りってのはマズいですよね？ 何か良いアイディアがあればいただけると嬉しいです。宜しくお願いします。
- いろは にほへと（@dormitory）
- お礼率98% (450/459)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数3
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
1つの頂点の位置を固定したときに, 残る 2つの頂点の置き方を考えてみたら? 場合によっては外接円を考えると分かりやすいかもね.
その他の回答 (2)
- shuu_01
- ベストアンサー率55% (760/1366)
なんか簡単な問題に思えるのですが、どこか落とし穴あるのでしょうか？ （１）正三角形 正6n 角形のどれか１つの頂点を選ぶと、１つだけ正三角形を作れます それを 6n 倍すると、１つの三角形を３回 数えてしまうので、 ３で割った 2n 個となります （２）直角三角形 6n 個ある頂点のうち、中心を結んだ線の反対側の点以外の２個を選ぶと どちらかの点に直角な線を引いて、２個 直角三角形を作れます 6n 個から 2個選ぶのは 6nC2 ＝ 6n （ 6n － 1）/2 通り そのうち、ちょうど反対側の点を選ぶ 6n /2 通りを引いて 6n （ 6n － 1）/2 － 6n /2 しかし、上記は １つの直角三角形について２回 数えているので２で割り ｛6n （ 6n － 1）/2 － 6n /2｝/2 ＝ 9n^2 －3m （３）二等辺三角形 6n 個ある頂点のうち、ちょうど反対の点以外のどれからの点を 中心を結ぶ線と対象に２点 選ぶと、二等辺三角形が 6n /2 － 1 個できます このうち１個は正三角形で、正三角形だと 後で重複して数えてしまうので とりあえず、覗いて数えると 6n /2 － 2個となります 他のすべての点についても、その点を頂点とする二等辺三角形ができるので 6n （6n /2 － 2） ＝ 18n^2 － 12n ただ、正三角形も二等辺三角形に含まれるので、（１）を足して 18n^2 － 12n ＋ 2n ＝ 18n^2 － 10n 【答え】 （１） 2n 個 （２） 9n^2 －3m 個 （３） 18n^2 － 10n （正三角形も二等辺三角形に含めて計算しました） * これどっかの入試か試験問題？ それとも宿題？ 答えあってるかどうか気になるので、答えわかったら教えてください
お礼
熱心にご回答いただきありがとうございました。 当方社会人です。今日休みなので、再び学び直そうと一からやり直してるところです。(センターでは悲惨でしたが^^;) え～と、多分入試問題では無いと思います。略解はありましたので、いただいた回答を見ますと、(1)(3)は良いです。(2)は、mじゃなくてnを書きたかったのでしょうか？ いずれにせよ、(2)は私の質問にある通り18n^2-6n です。 しかし、求めるまでの説明にははっとしました。参考に致します。
- tsuyoshi2004
- ベストアンサー率25% (665/2600)
(2)円周角を直角にすることを考えると、直角三角形になるためには一辺が直径になる場合です。 そうすると、引ける直径の本数は６ｎ／２＝３ｎです。 これであとはどの頂点を結んでもいいので、これに６ｎ－２をかけて、 ３ｎ（６ｎ－２）＝１８ｎ－６ｎ (3)１点を選んで、そこから左右に均等な頂点を選べばいいので、 ６ｎ×（６ｎ－２）／２＝３ｎ（６ｎ－２） ただし、ここから(1)で求めた正三角形がそれぞれ３回数えられているはずなので、４ｎを引く必要がある。 ３ｎ（６ｎ－２）－４ｎ＝１８ｎ－１０ｎ
お礼
そのようにスラスラと思い浮かべる事が羨ましいです。 私はn=1,2(六角形と十二角形)の場合を一々書いてしまいました。
関連するQ&A
- 集合に関する問題。
三角形が全部で36個ある。 このうち、直角三角形であるものは21個、二等辺三角形であるものは17個である。 また、二等辺三角形のうち正三角形であるものは5個である。 さらに、直角三角形でも正三角形でもない二等辺三角形の個数と、 二等辺三角形でも正三角形でも直角三角形でもない三角形の個数は等しいという。 このとき、二等辺三角形でない直角三角形の個数はいくつか。 【解説】 直角三角形の集合をＡ 二等辺三角形の集合をＢ 正三角形の集合をＣ それぞれの集合に属する三角形の個数をｎ（Ａ）、ｎ（Ｂ）、ｎ（Ｃ）とする。 題意より、ｎ（Ａ）＝21、ｎ（Ｂ）＝17、ｎ（Ｃ）＝5である。 ここで、直角二等辺三角形の個数すなわりｎ（Ａ∧Ｂ）＝Ｘとする。 直角三角形でも正三角形でもない二等辺三角形の個数は、 17－（Ｘ＋5）＝12－Ｘ…（１） ★また、直角三角形であるかまたは二等辺三角形である三角形の個数は、 21＋17－Ｘ＝38－Ｘ…（２） したがって、（２）より、二等辺三角形でも正三角形でも直角三角形でもない三角形の個数は、 36－（38－Ｘ）＝Ｘ－2…（３） ここで、題意より、（１）＝（３）である。 すなわり、12－Ｘ＝Ｘ－2 2Ｘ＝14 ∴Ｘ＝7 よって、二等辺三角形でない直角三角形の個数は、21－Ｘ＝21－7＝14 【答え】14個 について、「★以降」の考え方が分かりません。 １つ１つの数式が、次に何を求めるための下準備として計算しているのか、 その数式を解くことによって、次にどのように発展させて答えを求めることができるのかが分かりません。 よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 平面上のn個の頂点から直角三角形は最大幾つ作れるか
「平面上の相異なるn個の点のうち３点を結んで出来る直角三角形は最大で幾つか。ただし、nは３以上の整数とし、三角形同士は辺や頂点を共有しても、あるいは重なっても構わないものとする」 どこかに載っていた問題ではなく、ふと思いついたもので、解決できるとは限りません。ただ、私にはどうやっても無理なようです。数学の得意な方、解いて頂けませんか。 題意がわかりにくいかもしれませんので補足しますと、点の位置は任意です。ただ、それらを適当に配置すれば、それらを結んで出来る直角三角形の個数は、その点の個数nに対する最大値を取るはずです。 単なる「三角形」は当然nC３個できるので、そのnC３個が全部直角三角形になりうるのならそれで問題解決ですが、nが５以上のときは残念ながらそうはいきません。 nが４のときは、４点が長方形の頂点の位置にあれば最大値４なので、これを上手く使えば解けるかもしれないとか、あるいは、終点が同じで内積が０になる一次独立な２本のベクトルの組がなるべく多くなるようにすればよいとか、色々考えてみましたが、どれも行き詰まってしまいました。どうでしょう、解けますか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 組み合わせの問題です
正ｎ角形がある(ｎは3以上の整数) この正ｎ角形のｎ個の頂点のうちの3個を頂点とする三角形について考える ｎ＝６K(Kは正の整数)であるとする。このとき、Kを用いて表すと、正三角形の個数は(ァ)であり、直角三角形の個数は(イ)である 解答はァが2K、イが６K(3K―１)です 解説がないためどなたか教えてください。よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 等差数列の中間の項の問題
Σベストの例題228の等差数列の中間の項の問題について質問です。 －8と18との間にn個の数a1,a2,…an入れ -8,a1,a2…,an,18 が公差1/2の等差数列になるようにしたい。個数nをいくらにすればよいか。また、公差2の等差数列になるとき、個数nはいくらか。 という問題で、着眼に末項18は第（n+2）項にあたるとありました。 しかしなぜ（n+2）になるのかがいくら考えてもわかりません。なのでどなたか教えてください。（できればわかりやすくお願いします…）
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 周の長さの和がａで一定の凸ｎ多角形で、面積が最大になるものはどんなｎ多
周の長さの和がａで一定の凸ｎ多角形で、面積が最大になるものはどんなｎ多角形か。 ｎ＝３のときは、正三角形のときで、次のように考えました。 一辺を底辺とし固定して、２辺の和が一定だから２頂点は楕円の焦点になり、残りの１頂点は 楕円上の点になる。底辺が固定されているから高さが最大になるときより、１頂点は底辺の垂直 ２等分線上にある。よって、２等辺三角形のとき面積最大になる。このあとは、底辺、等辺を文字で あらわして、面積を微分して求めました。（他の簡単な解法があれば紹介してください） ｎ＞＝４以上のときはどうすればよいのでしょうか。 大きな流れでよいので教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 確率
円周を１２等分した点を反時計回りの順にＰ₁、Ｐ₂、Ｐ₃……、Ｐ₁₂とする。このうち異なる３点を選び、それらを頂点とする三角形を作る。 (1)直角二等辺三角形の個数を求めよ。 (2)正三角形でない二等辺三角形になる確率を求めよ。 (3)直角三角形になる確率を求めよ。 (4)このようにして作られる三角形の形によって、次のように得点を定める。 正三角形のとき……５点 直角二等辺三角形のとき……３点 正三角形でなく直角二等辺三角形でもない二等辺三角形のとき……２点 直角二等辺三角形でない直角三角形のとき……１点 上のいずれでもないとき……０点 このとき得点の期待値を求めよ という問題です。続いている問題なので４問出させてもらいました。これ以外にも２問あってそれは解けましたがこの４題はわかりません。分かる方いらっしゃいましたらすみませんが解説よろしくおねがいいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ある数列が等差数列であることを示す
各項が正の数である数列｛a_n｝があり、任意の自然数ｎについて、a_2n-1、a_2n、a_2n+1はこの順に等差数列をなし、a_2n、a_2n+1、a_2n+2はこの順に等比数列をなす。 (1)a_2nをa_2n-1、a_2n+1を用いて表せ。また、a_2n+1をa_2n、a_2n+2を用いて表せ。 (2)数列｛b_n｝を、b_n＝√(a_2n)で定めるとき、｛b_n｝は等差数列であることを示せ (3)a_1=２、a_2=4のときΣ（k=1～n）a_2k-1を求めよ (1)はa_2n＝1/2（a_2n-1＋a_2n+1）、a_2n+1＝√（a_2n＊a_2n+2） と求まったのですが、 (2)の｛b_n｝が等差数列であることを示すことができなくて困っています。(1)のa_2nを代入して隣同士の差を作ってもうまくできません。 それと(3)なのですが、a_2k-1が階差数列になると思うのですが、うまく計算できません。 答えが1/3n(n+1)(n+2)となることはわかっているのですが合わなくて・・・。 回答いただければ助かります。よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列 （漸化式）
A[1]=1 A[n+1]=4A[n]+2^n (n=1,2,・・・) {A[n]}の一般項を求めたいのですが 両辺2^nで割って、B[n]=A[n]/2^(n-1)とおくと、 B[n]+1=2(B[n]+1)とおけるから特性方程式より、B[n]が2^n -1と求められました その後はA[n]＝・・・ どうすればいいのでしょうか？ 等差数列なら A[1]+ΣB[k] k=1～(n-1)という感じで求められたのですが・・・ この数列は等差数列なのか、等比数列なのか・・・ 一見等差数列のようですが、+2^nがついていてこれも定数じゃないから、等差数列ともいえないな・・・と思いました。 階差数列？とはいえないかもしれないけど、B[n]が求まったらその後の段階としてどうすればいいのでしょうか、よろしくおねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ご回答ありがとうございます。 外接円は使いました。使わないと直角三角形の個数が求めにくいし、二等辺三角形も円の中心を通る直線があると説明しやすいので。 「正三角形を作る」場合では、選び出す三つの頂点、例えば、一点a1を定めて反時計回りにa[2],a[3],…,a[6n]と与えていくと、三つの頂点で添え数が最小のものをmとでもすれば、(m,m+2n,m+4m)の組合せになると思うのですが、何と言うか、うまく「繋いで」説明出来ないのです。頂点の選び方の総数と頂点の添え数の関係式をうまく「繋げ」たいところです。 一応単元としては場合の数ですが、漸化式を自分で作るのと同様に、数列の扱いにも手慣れていないと中々難しいと感じます。
補足
もう少し粘ってみます。説明に抜け目が無さそうになったら締め切ろうと思います。