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重積分の領域についてわかりません
- 重積分の領域Dについて図示し、領域の解釈について疑問があります。
- 積分領域の解釈を間違えている場合、どのように判別するべきか教えてください。
- 解釈の間違いが原因で収束値が求められず困っています。どのように解釈すれば正確な値を求めることができるでしょうか。
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非有界な関数f(x,y)を重積分(0≦x≦1,0≦y≦1)することを考えます。 具体的にはf(x,y)=(x-y)/(x+y)^3です。 この時、xで先に積分するか、yで先に積分するかで値が変わることはありますか? 僕が行った計算では、変数変換(x,z)=(x,x+y)とすると、ヤコビアンは1でdxdy=dxdzで、 ∫_0^1 dx ∫_0^1 f(x,y) dy =∫_0^1 dx ∫_x^{x+1} (2x-z)/(z^3) dz =∫_0^1 dx 1/(x+1)^2 = 1/2 zの積分はxを定数として計算しています。 ここで、逆の順序で積分すると、xとyの変数を入れ替えたものは等しいので、 ∫_0^1 dx ∫_0^1 (x-y)/(x+y)^3 dy =∫_0^1 dy ∫_0^1 (y-x)/(x+y)^3 dx = - ∫_0^1 dy ∫_0^1 (x-y)/(x+y)^3 dx =1/2 よって、 ∫_0^1 dy ∫_0^1 (x-y)/(x+y)^3 dx = -1/2 だと思うのです。 また、直感的には、交代式を直線x=yに対称な領域で積分するなら、 ∫_0^1 dx ∫_0^1 (x-y)/(x+y)^3 dy = 0 が正しいとも思えます。 どうかこの辺の事情をお教えください。
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