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大学の数学の問題です

t,p,q>0とする。広義積分 Γ(t)=∫(0~∞)e^(-x)x^(t-1)dx, B(p,q)=∫(0~1)x^(p-1)(1-x)^(q-1)dx をそれぞれガンマ関数,ベータ関数という。 (1)変数変換 x=u-uv, y=uvによって、次の式を証明せよ。 ∫(0~∞)∫(0~∞)e^(-x-y)x^(p-1)y^(q-1)dxdy=∫(0~∞)e^(-u)u^(p+q-1)du ∫(0~1)v^(q-1)(1-v)^(p-1)dv (2)B(p,q)=Γ(p)Γ(q)/Γ(p+q)を示せ。 教えていただけると嬉しいです。

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みんなの回答

  • Ae610
  • ベストアンサー率25% (385/1500)
回答No.1

0＜x,0＜yは独立であるので、積分の変数を分離出来て ∫(0→∞)∫(0→∞){e^(-x-y)x^(p-1)y^(q-1)}dxdy = ∫(0→∞){e^(-x)・x^(p-1)}dx・∫(0→∞){e^(-y)・y^(q-1)}dy = Γ(p)・Γ(q)・・・(1) 一方、変数変換により x = u(1-v) , y = uv とするとu,vの動く領域は0＜u＜∞ , 0＜v＜1 ヤコビアン|J| = u (≠0) ∫(0→∞)∫(0→∞){e^(-x-y)x^(p-1)y^(q-1)}dxdy = ∫(0→1)∫(0→∞){e^(-u)[u(1-v)]^(p-1)・(uv)^(q-1)}ududv = ∫(0→1){(1-v)^(p-1)・v^(q-1)}dv・∫(0→∞){e^(-u)・u^(p+q-1)} = B(q,p)・Γ(p+q) = B(p,q)・Γ(p+q)・・・(2) (1)=(2)より B(p,q) = Γ(p)・Γ(q)/Γ(p+q)

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質問者

お礼

回答ありがとうございます。 理解出来ました。 とても助かりました。

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