数学 sinとcosの等式

質問

-cos(a+2b)＝1/2 cos(a)
-sin(a+2b) ＝1/2 sin(a)

この等式をともに満たすようなbを求めよ。
ただし、aもbも0以上２π未満とする。

どなたかご解説お願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

>この等式をともに満たすようなbを求めよ。
等式を満たす実数bは存在しないので、求めることはできません。

No.1さんも言われているように
　-cos(a+2b)＝1/2 cos(a)　...(1)
　-sin(a+2b) ＝1/2 sin(a) ...(2)
この２つの３角方程式を同時に満たす実数の組み(a,b)は存在しません。

aを横軸、bを縦軸にとって(1),(2)のグラフを描くと
添付図のようになります。
(1)の曲線のグラフが赤線の曲線、(2)の曲線のグラフが黒線の曲線となります。
図のa,bの範囲は0以上、2π未満として描いています。
赤線の曲線のグラフと黒線の曲線のグラフは交点を持たないので
(1)と(2)を同時に満たす(a,b)は存在しません。

回答No.5

178-tall

>-cos(a+2b)＝1/2 cos(a)
>-sin(a+2b) ＝1/2 sin(a)

斜目で眺めると？
　-cos(a)cos(a+2b)＝1/2
　-sin(a)sin(a+2b)＝1/2
と見えないでもない。
(斜め見えがひどすぎ？）

両式を足し合わせると、
　cos(2b) = -1
　2b = π+2kπ
　…

…かネェ。

回答No.4

178-tall

ひょっとして、b = -i(1/2)*LN(2) なのかな？

回答No.2

bgm38489

このまま両式の両辺を自乗して、足し合わせれば、1=1/4となってしまいますが…
省略しますが、移項して平方して、それらを足し合わせると、
1/4+cos(a)cos(a+2b)+sin(a)sin(a+2b)+1=0
cos(a)cos(a+2b)+sin(a)sin(a+2b)=－5/4
後は、加法定理の逆を使えば…このままいけば、cosの値が-1以下になってしまい、おかしいですね。計算間違いがあったか、問題の間違いか、どちらかです。ま、解き方はこんな具合だと思います。

回答No.1

in01280128

２つの式の両辺を二乗すると、
{cos(a+2b)}^2 = (1/4) {cos(a)}^2
{sin(a+2b)}^2 = (1/4) {sin(a)}^2

２つの式を足すと、
{cos(a+2b)}^2 + {sin(a+2b)}^2 = (1/4) {cos(a)}^2 + (1/4) {sin(a)}^2

ここで、
{cos(a+2b)}^2 + {sin(a+2b)}^2 = 1
{cos(a)}^2 + {sin(a)}^2 = 1

であるから、これを代入して、
1 = 1/4

しかし、このような等式は成立しない。
従って、与えられた式を同時に満たす、0以上２π未満であるような a、b の組み合わせはない。