対称行列の全固有値が負のとき対角要素はすべて負か？

質問

【問題】

対称行列Aにおいて固有値がすべて負であるとき、
対角要素（a11,a22,・・・ann)はすべて負であるか？
＊＊

上記が分からなくて困っています。
お分かりの方、証明もしくは反例をお願い致します。

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

対称行列と 2 次形式の関係を知っていれば、簡単なんですが。

A を n 次対称行列として、n 変数の関数 f(x1, ..., xn) を次のように定義する：

　　 f(x1, ..., xn) = (x1, ..., xn)A(x1, ..., xn)'
　　　（(x1, ..., xn)' は (x1, ..., xn) の転置を表す）

すると、次のようになる。

　　A のすべての固有値が負
　　⇔ (x1, ..., xn) = (0, ..., 0) 以外のすべての x1, ..., xn に対して、f(x1, ..., xn) < 0
　　⇒ A の対角要素がすべて負

（最後の⇒は、次のようにして分かる。もし、 A の k 番目の対角要素が 0 以上だったとすると、xk = 1 で他のすべての xi が 0 であるような x1, ..., xn に対して、f(x1, ..., xn) >= 0 となり、矛盾。）

もし、上の説明が難しいと感じられるなら、まず、2次形式について勉強されたらいいと思いますよ。

お礼

ご丁寧な説明ありがとうございます！

仰って頂けると、なんとか理解できたと思います。
2次形式についても勉強していきたいと思います。

ありがとうございます！！