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対称行列 対角行列
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A No.1 補足の追加質問について： 悩みの要点は、質問本体と同じだと思います。 「○○が□□であれば××」という定理は、 「○○が□□であれば」成り立ちます。 「○○が□□で、しかも△△」である場合にも 「××」であることを、当然含んでいるのです。
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- kabaokaba
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＞対角行列に関しては固有方程式を作った時に、対角成分の ＞掛け算なので正しいと思うのですが、詳しい証明はどのように ＞行うのでしょうか？ 詳しいも何もこれ以外に何がある？ ＞テキストに特に記載がなかったので質問させて頂きました。 当たり前すぎて書いてないだけ． 何でもかんでも書いてたら いつまでたっても先に進めない．
お礼
ご回答ありがとうございました。 ＞当たり前すぎて書いてないだけ． 仰る通りですね。 すいませんでした。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
「n次対称行列の固有値は重複も数えてn個存在する」って, なんで「対称」って言わにゃならんのだろう. 対称だろうとなんだろうと n次行列の固有値は (重複も数えて) n個あるに決まってるのに.
お礼
ご回答ありがとうございました。 理解できました。
- alice_44
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「対角行列は対称行列だから言える」で十分だと 思うのですが…？ 対角行列の固有ベクトルを求めるのは、簡単です。 求めてしまえば、直交することが確認できます。 対角行列の、ある固有値に属する固有ベクトルは、 その値を持つ対角成分と同じ行以外は成分が 0 の列ベクトルになりますね？ 異なる固有値に属する固有ベクトルは、 0 でない成分の行番号に共通のものがないので、 内積が 0 です。
補足
いつもご回答ありがとうございます。 申し訳ありません・・・ 自分で確認しておりませんでした。 実際に、2次と3次の対角行列で確認したところ 内積=0になりました。 テキストを読んでいると、n次対称行列の固有値は重複も 数えてn個存在する。 とあったのですが、n次の対角行列でもn個存在するのでしょうか？ 因みに、上の計算で用いた対角行列の固有値は2次で2つ， 3次で3つでした。 対角行列に関しては固有方程式を作った時に、対角成分の 掛け算なので正しいと思うのですが、詳しい証明はどのように 行うのでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
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お礼
いつもご回答ありがとうございます。 理解できました。