2つの周波数 位相差を取得するには

質問

2つの周波数　位相差を取得する方法は

「FFT⇒複素数の商から割り出す」　以外に

何か単純な方法はありませんか？

回答No.14

178-tall

散々うろついた挙げ句の結論としては、何ともプリミティブなものになり汗顔のいたり。

二波信号合成結果の同定については「そんなこと常識」の一言のみ。
　　↓
>2 点サンプルの時刻差が d なら、θの角周波数ωは π/(2d) らしいので、
>ω = π/(2d), γ=θ-ω*d として、
>　V = A*sin(ωt+γ)　　　…(1)
　　↑
これすら、別途「零交差」などの観測を要するケースが多そう…。

合成信号からの二波を逆算するのは、二波の一方が既知でないかぎり解決不能。
理由は、しごく単純なこと。
合成信号を、
>a*sin(ωt+θ1) + b*sin(ωt +φ)
と和分解できたとして、任意の c*sin(ωt +δ) を第一項へ加算し第二項から減算したものも、やはり同一合成信号になる … からです。
単純かつ明白なことをシカとしたまま、無駄骨折ってた…。

陳謝、蒙御免。

回答No.13

178-tall

>上記算出は正弦関数の差により時系列での位置（＝位相？）を算出する方法になるのですね。

記述が粗っぽいので判りづらいのですが、

>　V = a*sin(ωt +θ) + b*sin(ωt) = A*sin(ωt +γ)　　…(1)

の右辺を V の 2 点サンプル値から推算したあと、それから右辺の和分解を推算できるのか？
を考察したつもりです。

>未知項は {a, b, θ} の 3 個で、2 個の連立式からは算出不能。
>もし一つ所与なら、解けそう。
>…このあたりが、ボーダーラインのようです。

…が当方の判断。

つまり、{a, b, θ} がすべて未知だと、一意解が得られないようなのです。

回答No.12

178-tall

どうやら、課題を把握し切れてないので…。
やや観点をずらした試論を…。

>信号(1)　a*sin(ωt+θ1) + b*sin(ωt +φ)
　　　　↑
このタイプの合成波として
　V = a*sin(ωt +θ) + b*sin(ωt) = A*sin(ωt +γ)　　…(1)
を想定する。

(> ANo.6～7) V の 2 点サンプル値を、
　V0 = C*sin(τ)
　V1 = C*sin(τ+π/2)
とする
サンプルの時刻差が d として、θの角周波数ωは π/(2d) らしいから、
　ω = π/(2d), γ=τ-ω*d　として
　V = C*sin(ωt+γ)　　…(2)
と推算できる。

また、(1) から、
　a*sin(ωt +θ) + b*sin(ωt)
　= √{ (a*cos(θ) + b )^2 + sin^2(θ) }*sin[ωt + arctan{ (sin(θ)/(a*cos(θ) +b) }　　…(3)

(2), (3) から、
　C = √{ (a*cos(θ) + b )^2 + sin^2(θ) }
　γ= arctan{ (sin(θ)/(a*cos(θ) +b)
の連立式を得る。
未知項は {a, b, θ} の 3 個で、2 個の連立式からは算出不能。
もし一つ所与なら、解けそう。

…このあたりが、ボーダーラインのようです。

お礼

色々とご検討頂き有難うございます。

＞ANo.6～7 により、{b, c, φ, γ} を算出。
＞c*sin(sin(ωt+γ) - b*sin(ωt +φ) = a*sin(ωt+θ) を得る。

上記算出は正弦関数の差により時系列での位置（＝位相？）を算出する方法になるのですね。

色々とイメージはつきますが

「FFT⇒複素数の商から割り出す」　

が一番計算から割り出すには適しているのかもしれませんね。。。

回答No.11

178-tall

不可能事を並べ立てても致し方ありませんので、できそうなプランから再スタート…。

課題は a*sin(ωt+θ) + b*sin(ωt +φ)　なる合成信号の和分解。合成信号を c*sin(sin(ωt+γ) と表記。

以下、プランの一例。

[条件]
b*sin(ωt +φ), c*sin(sin(ωt+γ) の 2 点サンプル観測可能。

[a*sin(ωt+θ) 算定手続き]
ANo.6～7 により、{b, c, φ, γ} を算出。
c*sin(sin(ωt+γ) - b*sin(ωt +φ) = a*sin(ωt+θ) を得る。

…という至極単純なプラン。

原理的には、この程度のことしかできそうもありません。

回答No.10

178-tall

>勘違いの訂正。

…の再訂正で、蒙御免。

ANo.6～7 の単一正弦波の同定は、それなりに使えそうです。

けど、単一正弦波を二正弦波の和にする問題には、解が存在するものの、一意的じゃなさそう。
(一つの和分解を想定しても、それとは異なる和分解へ導けるようです)

ANo.8～9 のコメントは無視してください。

回答No.9

178-tall

勘違いの訂正。

…π/6 刻みの 4 点サンプル値から {a, b, θ,ψ} を「取得」する手になりそうです。

　V0 = a*sin(θ) + b*sin(ψ)
　V1 = a*sin(θ+ π/6) + b*sin(ψ+ π/6)
　V2 = a*sin(θ+ π/3) + b*sin(ψ+ π/3)
　V3 = a*sin(θ+ π/2) + b*sin(ψ+ π/2)

…でした。

回答No.8

178-tall

>信号(1)　a*sin(ωt+θ1) + b*sin(ωt +φ)
　↑
…については、π/3 刻みの 4 点サンプル値から {a, b, θ,ψ} を「取得」する手になりそうです。

　V0 = a*sin(θ) + b*sin(ψ)
　V1 = a*sin(θ+ π/3) + b*sin(ψ+ π/3)
　V2 = a*sin(θ+ 2π/3) + b*sin(ψ+ 2π/3)
　V3 = a*sin(θ+ π) + b*sin(ψ+ π)

と立式してみると、一筋縄ではいきそうもありません。

近似解を入れて、多次元タイプの Newton 逐次接近法？を使うのが実戦的な手かも…。

回答No.7

178-tall

>　V0 = A*sin(θ)
>　V1 = A*sin(θ+π/2)

2 点サンプルの時刻差が d なら、θの角周波数ωは π/(2d) らしいので、
ω = π/(2d), γ=θ-ω*d として、

　V = A*sin(ωt+γ)　　　…(1)

やっと、V = A*sin(θ) の観測データ {d, V0, V1} から V の算式 (1) へたどり着けたようです。
まだ、ゴールは視界外？

回答No.6

178-tall

>知りたい内容は以下の2信号があるとします。
>信号(1)　a*sin(ωt+θ1) + b*sin(ωt +φ)
>信号(2)　a*sin(ωt+θ2) + d*sin(ωt +φ)
>その際の信号(1)と信号(2)の振れ幅が一番大きい周波数同士の位相が知りたいです。
>上記の場合、a*sin(ωt+θ1)、a*sin(ωt+θ2)　のθ1-θ2を知りたいです。
>但し、与えられた情報は信号(1)、信号(2)共に各点情報しかありません。

いきなりチャレンジは自信ないので、A*sin(θ) の 2 点サンプル値から {A, θ} を「取得」する手でも…。

θのサンプル間隔は π/2 が最適そう…なので 2 点サンプル値を、
　V0 = A*sin(θ)
　V1 = A*sin(θ+π/2)
だとすると？

　A = √(V0^2+ V1^2)
　θ= arcsin(V0/A)

「この手」で吟味を要するのは、arcsin(V0/A) の多値性をいかに処理するか、でしょう。

それよりも、「各点情報」の位相間隔を予め設定できるのか？　の方が気になります。

回答No.5

178-tall

ANo.3 ですけど、反省気味。

>…というと、たとえば、
>　a*sin(ωt) + b*sin(ωt +φ)
>の {a, b, ω, φ} を「取得」したい… …

同一周波の二正弦波の合成結果から、元の二波を復元する企て…だとすると、一意的に確定できそうもない。
二波の一方が所与なら、古来の「合成」手法で解決可。

…ということは、当方の問題把握に錯誤がある、ということ？

補足

ご連絡が遅くなりすみません。

説明不足ですみません。
知りたい内容は以下の2信号があるとします。

信号(1)　a*sin(ωt+θ1) + b*sin(ωt +φ)

信号(2)　a*sin(ωt+θ2) + d*sin(ωt +φ)

その際の信号(1)と信号(2)の振れ幅が一番大きい周波数同士の位相が知りたいです。

上記の場合、a*sin(ωt+θ1)、a*sin(ωt+θ2)　のθ1-θ2を知りたいです。

但し、与えられた情報は信号(1)、信号(2)共に各点情報しかありません。

どうかご教授お願いします。