中学受験算数、図形の問題、教えてください

質問

中学の入試問題なのですが、解答には解説が載っていないので解き方が分からずに参っております。どうか教えてください。よろしくお願いいたします。

問題）下の図のように、三角形と扇形を隙間なく並べたとき、斜線部分の面積を求めなさい。
　　　　ただし、円周率は３．１４とします。

☆写真がうまく撮れず、分かりにくくてもうしわけございません。
　ちなみに答えは　３８．１３cm2　だそうです。考え方を教えてください。よろしくお願いいたします。

回答No.2

mizuwa · ベストアンサー

参考です。図を参照してください。

黒いおうぎ形と黒い三角形に分けて考えます(単位は省きます)

I．黒いおうぎ形を求めます(おうぎ形ＯＣＤ)
【中心角45°半径6cmのおうぎ形、(円周率を3.14とします)】
・・・6×6×3.14÷8＝14.13

II．黒い三角形を求めます(△ＡＯＤ)
●直角三角形(△ＯＢＣ)を時計周りに45°回転します【図の赤の位置にきます】

(1)直角三角形(△ＯＢＣ)の面積＝6×8÷2＝24なので、
・・・赤の位置に移動し、底辺をＯＢ'としたときの高さは、24×2÷10＝4.8

(2)黒い三角形(△ＡＯＤ)の底辺をＡＯとしたときの高さも等しく、4.8
・・・黒い三角形(△ＡＯＤ)の面積は、10×4.8÷2＝24

以上から
求める面積は、14.13＋24＝38.13

お礼

早速、お答えくださってありがとうございました。
分かりやすい図まで添えて頂き、感謝いたします。
このまま息子に見せて解説しようと思います。
本当にありがとうございました。

回答No.4

yyssaa

扇形の中心をO、弧の両端を下からA、B、斜線部三角形の残りの頂点をCとすると、
扇形の面積は、半径6cmの円の面積の45/360=π*6^2*45/360=14.13。
△OCAの面積は、(1/2)*AO*CO*sin∠AOC。ここで∠AOCをα、斜線の無い三角形の
10cmと6cmの2辺のなす角度をβとすると、α+β=πだからsinα=sin(π-β)
=sinπcosβ-cosπsinβ=sinβ=8/10=0.8。
よって△OCAの面積=(1/2)*6*10*0.8=24
従って、求める面積は14.13+24=38.13(cm^2)となります。

お礼

早速、お返事いただきましてありがとうございました。
そうなんですよね、三角関数を使うことができればいいのですが（とか言って、私はそれでも解けませんでした～恥）小学生に教えるのでまだ使えないんです。子供の入試問題に親が悪戦苦闘しております・・・。お恥ずかしいです。
ご丁寧にありがとうございました。

回答No.3

tatata-0000

斜線部のうちの扇形の中心角が45°
でっかい方の扇形の中心角が135°
足して180°だから、「斜線部の三角形の一番大きい角」と「6.8.10の三角形の6と10の間の角」の和も180°

だから、「6.8.10の三角形」を右に45°回転させると、「斜線部の三角形」の10cmの辺をそのまま延長させたところに「6.8.10の三角形」の10cmの辺がきて、一直線になり、新しく大きな三角形ができる。
新しくできた三角形（2つの三角形が組み合わさっている三角形）を、底辺が20cmの三角形として見る。
この三角形は、1つの頂点から20cmの辺に引かれている6cmの線分で2つに分けられているが、その分けられた三角形はいずれも底辺が10cmで、高さは共通。
だから、2つに分けられている三角形の面積は同じ。

よって、斜線部の面積は、「6.8.10の三角形」と「中心角が45°の扇形」の和。
6*8/2 + 6*6*3.14/8

お礼

早速、お答えくださってありがとうございました。
足して１８０度になることは気付いたものの、三角形を移動させて考えることができず考え込んでしまいました。目からウロコです。
本当にありがとうございました。

回答No.1

mnakauye

こんにちは。

　まず斜線部分の内の扇形の部分は、半径6cmの円の一部ですから

　　πX６X６の45度／３６０度　ですね。

　次に斜線の鈍角三角形の部分ですが、斜線のない三角形の
　（６ｃｍと10cmの辺にはさまれた）角とあわせて180度になる角が
　一番大きい鈍角ですね。

　　ということは、この鈍角三角形を１０ｃｍの辺を底辺にすると

　高さが、斜線のない三角形と並べると底辺が一直線（あわせて１８０度）に

　なります。

　（挿入図は扇形と三角形の図形を並べ替えてみたもの・・・参考）

　すると鈍角三角形の高さは、相似形の性質を使って、

　　６ｃｍの辺と高さの比が、１０：８になりますね。

　　したがって、この鈍角三角形の面積は、

　　底辺10ｃｍ　高さは、６ｘ８÷１０＝４．８　となりますから

　　面積　１０ｘ４．８÷２＝２４

　　扇形　３６÷８ｘ３．１４＝１４．１３

　　それで合計３８．１３となります。

お礼

早速、お答えくださってありがとうございます。
図解までして頂き、よくわかりました。
足して１８０度になるところまでは気付き、きっとこれが何かヒントになるんだろうな・・・とは思ったのですが、お恥ずかしながら解けませんでした。
本当にありがとうございました。