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x^2+y^2≦5, y≧0の範囲において、x+y
x^2+y^2≦5, y≧0の範囲において、x+yの最大値と最小値を求めよ。 この問題教えてもらえるとたすかります!
- yuichiro814
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x^2+y^2≦5, y≧0 を満たす点(x,y)の存在領域Dは添付図の黄色の領域となります。 x+y=kとおくと 直線y=k-xが領域Dを通るようなkの範囲を求めればよい。 kは直線のy切片であり、直線の傾きは-1であるから kが最大になるのは直線が点C(√(5/2),√(5/2))を通るときである。 x=y=√(5/2)のとき k=x+yの最大値=2√(5/2)=√10 kが最小になるのは直線が点A(-√5,0)を通るときである。 x=-√5,y=0とき k=x+yの最小値=-√5 直線のy切片kが「-√5≦k≦√10」の範囲の値を取る限り、 直線y=-x+kは領域Dと共有点(x,y)を持つ。 よって (答え)最大値√10,最小値-√5
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- Tacosan
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#2 に類似だけど y に条件があることから x+y=k とおいて y の 2次不等式にする手もある.
- ask-it-aurora
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f(x, y) := x + y, g(x, y) := x^2 + y^2 - 5, D := { (x, y) : g(x, y) ≦ 0, y ≧ 0 } とおきます.まず連続関数fは有界閉集合D上で定義されているので最大値が(ちゃんと)あります.最大値を達する点p = (a, b)は(i)Dの内部int(D)にあるか(ii)Dの境界∂Dにあるかのいずれかです. (i)の場合.ヘッセ行列をH = ((fxx, fxy), (fyx, fyy))とおいてみます. fxx = fxy = fyx = fyy = 0 なので|H| = 0となり普通の方法では極大値をとるのかよくわかりません.が,今は関数fの形がとてもかんたんでpはDの内点なので,十分小さなε > 0があって f(a, b) = a + b < a + b + ε = f(a, b + ε) かつ(a, b + ε) ∈ Dとなるため内点pで最大値をとることはありません. (ii)の場合.(i)の場合の議論と同様にすればp = (a, 0)のとき(a^2 < 5)は最大値をとることはありません.したがってfが最大値をとるのは点p = (a, b)がg(a, b) = 0を満たすときです.ラグランジュの未定乗数法をするために F(x, y, L) := f(x, y) - L*g(x, y) とおきます(Lはラグランジュ乗数).(gx(a, b), gy(a, b)) ≠ (0, 0)なので連立方程式 Fx(a, b, λ) = Fy(a, b, λ) = FL(a, b, λ) = 0 の解から極値を取りうる点がわかります.この解は(a, b, λ) = (√5/2, √5/2, 1/√10)です.よってg(a, b) = 0を満たす点p = (a, b)で極値を取りうるものは(√5/2, √5/2)しかないので,ここで最大値f(√5/2, √5/2) = √5をとります. 最小値に場合も似たようにすればできるはずなので,そちらは任せます.この手の問題に必要な知識はたとえば参考URLをご覧ください.
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