積分 三角関数積分

質問

(1)次の三角関数の積分がうまくできません。

∫ (sinx・cosx(sinx+cosx)) dx　(from 0 to π/2)

結果は分かるのですが、過程を教えて下さい。

(2)三角関数の積分がどうも苦手です(何度暗記しようとしても和積公式が覚えられなかったり、どう変形すればゴールになるのか検討がつかず、三角関数がそもそも苦手なのですが…)
√(a-ax^2)→x=asinθとおく、など、有名な問題として背景を持っているようなものはストーリーで覚えられるのですが、「よく使うのでこれは定石」などというものがどうしても覚えられません。
何かコツのようなものがありますでしょうか。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

(1)は、
= ∫(sin x)(sin x)(cos x)dx + ∫(cos x)(cos x)(sin x)dx
と分けて、
左は s = sin x で、右は c = cos x で置換積分じゃない？

(2)
コツは、場数と愛情だと思う。

お礼

(1)この方法に気づいていませんでした。
　これだと非常に簡単ですね!

(2)場数と愛情、ですか…
2,3ヶ月他のことやっていると、すぐにわからなくなるんですよね…
普段から三角関数を使う生活をしないとだめですね。

回答No.14

k14i12d

aliceさん及び質問者さん。
私の申し上げたいことは、置換積分と私の言う方法が全く別ものだということではありません。誤解しないで下さい。
質問者さんは置換積分を何か解法パターンのようなものとして、aliceさんのおっしゃる置換積分とは全く別の概念と捉えているように質問文の内容から感じられましたので、そのような特別なものではなく、ただ単に合成関数の微分の逆用であることを見やすい形で表し、かつ慣れてくれば、置換の過程を行わずにすぐに不定積分の形にもっていけることを申し上げたかったのです。
よろしいでしょうか？質問者さん。
置換積分などは、定石(解法パターン)として捉える道具では無いということを私は強調して申し上げているのです。
私の言葉の用法の不十分さまたは、説明不十分で、質問者さんの誤解を招く可能性があったことは謝ります。

回答No.13

alice_44

A No.3～5 に、基本的な誤解があるようですが、
合成関数の微分法を逆用して積分をすること
に名前をつけて、「置換積分」と呼ぶのです。

回答No.12

uen_sap

何を質問されているのかがよく分からない。

結果は分かるんですね？
計算力が必要とされる問題ですので、結果が分かるためには、途中経過が理解できないと、結果が分かったにはなりません。

結果が分かってないのです。あなたは？

三角関数の問題は、三角関数の次数を下げるのが鉄則。

sinx*cox→sin2xの関数となる

このsin2x*cosx、sin2x*sinxをまた整理すればよい。
余りかっこよく、解こうと思わないこと。

補足

結果が分かっているので過程を、と書かないと、答えのみ教えていただける場合がありますので。

回答No.5

k14i12d

ちなみに、置換積分は、どうしても合成関数の微分の形をした関数の積分と見れないときに行うのです。
なぜなら、
質問の問題を例にとりますと、
展開して
cosx(sinx)^2+sinx(cosx)^2
cosx=u sinx=v とおきますと、
∫～を
∫～+ ∫～
とわけて、分けなくてもよいが、そのほうが見やすい。
∫uv^2～+ ∫vu^2～となり
du=-sinx dx dv=cosx dx
となりつまりdu=-vdx dv=udx
となりv、uを取り除ける。
言い方をかえますと、合成関数の微分によって生じた余分な中身の微分を取り除いているだけなんですよ。
だから置換積分も慣れてきたらただの合成関数の微分というわけです。(ほぼですが。もちろん置換しないと絶対に気づかないような合成関数の微分の形もあったりしますので。)

回答No.4

k14i12d

いやいや笑
そのまま展開して合成関数の微分で出た関数の積分とみればよいのであって、次数さげは必要ないでしょう。
つまりインテグラルの中身だけかきますよ。
[(sinx)^2]d(sinx)/dxー[(cosx)^2]d(cosx)/dx
とみれば簡単でしょう？
あるいは慣れないうちは、符号の変化などに注意しながら丁寧に上の形にもっていければよいのです。
この程度の問題は、慣れてきたら確実に、途中式抜きで不定積分できるようになりますから。
ところが、このような形で見ることの出来ない問題もたまにあります。
そのようなどうしようもない時に、最終手段として次数さげを行いましょう。最初から次数さげを行おうとすると、上のような簡単さに気づけなくなるからです。
不定積分が出来ればあとは代入するだけです。

三角関数に関する公式が覚えられないとのことですが、覚えなければよいのです。
つまり自分で導出できるようになりましょう。

そのうち慣れで、どうせこうなるとわかってくるはずです。
三角関数の積分時に有効な公式は加法定理で大概が導出できます。(次数さげにもつかえます。また和積もしかり。)
あとはsinとcosの2乗の和が1(もちろん角度が等しい時の話ですよ。また、使う時は形を工夫して使いますが。)を使えば本当にほとんどが積分可能です。
また、私は定石、と呼ばれる手法で覚えているのはあなたの出した例くらいです。
あとは自分の工夫で今までの問題ならば少なくとも解けてきました。
あとは積分区間によっては関数の偶奇に注目したりなど、いろいろな視点を身につければ十分でしょう。
とりあえず三角関数は上にあげた、合成関数の微分で出た関数を積分するという視点でみれば、あとはあなたのどれを関数とその微分と見るかというすじのよさ次第で、本当にほぼ全てとけます。
あ、あとは1/cosも積分できるのですが、計算が結構面倒なので、ほぼ暗記ですね。笑

そう。
そのゴールをある程度見定ようとする姿勢は重要になります。
とにかく合成関数の微分と見れるような形にもっていくことを考え、無理そうならその他の変形(次数さげしかり、和積しかり場合によっては次数あげも。)で合成関数の微分の形か、1次までの次数さげと見れるまで変形します。
どのみち最終目標は合成関数の微分の形か、1次までの次数さげがほとんどであることがわかってくるはずです。
また三角関数の積分に限った話ではないのですが、合成関数の微分とみる手法はとても重要になりますので、それは常に意識しましょう。

回答No.3

info22_

(1)
∫[0→π/2] (sinx・cosx(sinx+cosx)) dx
=∫[0→π/2] ((sinx)^2*cosx+(cosx)^2*sinx)dx
=∫[0→π/2] (sinx)^2*cosx dx+∫[0→π/2] (cosx)^2*sin(x)dx
三角関数の微分公式を逆用して
=∫[0→π/2] (sinx)^2 d(sinx)+∫[0→π/2] (cosx)^2 (-1)d(cosx)
合成関数の積分法を使って
=[(1/3)(sinx)^3][0→π/2]-[(1/3)(cosx)^3][0→π/2]
=(1/3)-(1/3)(-1)
=2/3
この解法は合成関数の積分法公式を使う方法です。
F(x)=∫f(x)dxのとき
∫f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))+c
というのが合成関数の積分法の公式です。

(2)
色々なタイプの解答付き演習問題をある程度数をこなしてものにしておくことがいいと思います。三角関数の公式、微分公式、積分公式は使えるようにしておくことが必要です。x=a*sinθ,x=a*cosθ,x=a*tanθなどの置換積分も例題を通してマスターしておきたいですね。

例えば(1)の別解

∫[0→π/2] (sinx・cosx(sinx+cosx)) dx
sinの二倍角の公式を逆用して
=∫[0→π/2] (1/2)sin(2x)(sinx+cosx) dx
=(1/2)∫[0→π/2] sin(2x)sinx+sin(2x)cos(x) dx
=(1/4)∫[0→π/2] 2sin(2x)sinx+2sin(2x)cos(x) dx
積和公式を使って
=(1/4)∫[0→π/2] (cosx-cos(3x))+(sin(3x)+sinX) dx
三角関数の積分公式を使って
=(1/4)[sinx-(1/3)sin(3x)-(1/3)cos(3x)-cosx][0→π/2]
=(1/4)[1+(1/3)+(1/3)+1]
=2/3
この積分の解き方では
三角関数の公式と三角関数の積分公式を使ってますね。

色々な解法を知っていれば問題により使い分け、より簡単な方法（時間のかからない、計算ミスをしない方法など）使い分けられるようになるまで、色々なタイプの解答付き演習問題をこなし、解法を整理して覚えておくことが大切ですね。

回答No.1

Tacosan

三角関数の積分では, とにかく次数を落とすのが基本. (1) だと sin x cos x = (1/2)sin 2x から入るかな.