三角関数の置換積分

質問

以前同じような質問をしましたが、直接的な質問であったため削除されてしまったので、改めて質問します。
次の二つの三角関数の積分をt=tan(x/2)と置換して解く問題です。

(1)∫dx/(1+sinx)
(2)∫cosx/(1-cosx)

自分で解いたところ、

(1)-2/(tan(x/2)+1)+C
(2)-1/tan(x/2)-x+C

という答えになったのですが、合っていますでしょうか？

回答No.2

nettiw · ベストアンサー

再投稿です。
二通りで解いてあるのでこのまま投稿します。
両方とも、合っています。
一致している箇所に、（・・・・・・・・・・・）と入れました。
--------------------
工=∫(dx/1+sinx)
　　=∫dx(1-sinx)/(cosx)^2
　　=∫dx/(cosx)^2-∫dx((sinx)/(cosx)^2)
　　=tanx-(1/cosx)+C
　　　　-----
tan(x/2)=Tと置くと、
　　(1/2)(1/(cos(x/2))^2))dx=dT
　　(1/2)(1+(tanT)^2)dx=dT
　　dx=dT((2/(1+T^2)))

　　sinx=2T/(1+T^2)
　　1+sinx=((1+T)^2)/(1+T^2)
　　1/(1+sinx)=((1+T^2)/((1+T)^2))

工=∫dT((2/(1+T^2)))((1+T^2)/((1+T)^2))
=2∫dT/((1+T)^2))
=[-2/(1+T)]+C2
=[-2/(1+tan(x/2))]+C2 　　　　（この式に一致しています。）
=[-2cos(x/2)/(cos(x/2)+sin(x/2))]+C2
=[((-2cos(x/2))(cos(x/2)-sin(x/2)))/((cos(x/2)+(x/2))(cos(x/2)-sin(x/2)))]+C2
=[(-1-cosx+sinx)/cosx]+C2
=(-1/cosx)-1+(tanx)+C2
=(-1/cosx)+(tanx)+C3
...........................................................................
（２）
工=∫dx(cosx/(1-cosx))

　　cosx/(1-cosx)
　=(cosx・(1+cosx))/((sinx)^2))
　=[cosx+1-((sinx)^2))]/((sinx)^2))

工=∫dx[cosx/((sinx)^2))]+∫dx[1/((sinx)^2))]-∫dx
　　=(-1/sinx)-(1/tanx)-x+C
　　　...................
tan(x/2)=Tと置くと、
dx=dT((2/(1+T^2)))
dT=dx[(1+T^2)/2]

cosx=((1-T^2)/(1+T^2))
1-cosx=(2(T^2))/(1+T^2)
cosx/(1-cosx)=((1-T^2)/(2(T^2)))

工=∫dT[((2/(1+T^2)))((1-T^2)/(2(T^2)))]
　　=∫dT[(1-T^2)/((1+T^2)(T^2))]

　　　(1-T^2)/((1+T^2)(T^2))
　　　=[1/((1+T^2)(T^2))]-[1/(1+T^2)]
　　　=[1/(T^2)]-[1/(1+T^2)]-[1/(1+T^2)]
　　　=[1/(T^2)]-2[1/(1+T^2)]

工=∫dT[1/(T^2)]-2∫dT[1/(1+T^2)]
　　=∫dT[1/(T^2)]-2∫dx[(1+T^2)/2][1/(1+T^2)]
　　=(-1/T)-x+C
　　=-[1/tan(x/2)]-x+C　　　　　（この式に一致しています。）

　　1/(tan(x/2))
　　=cos(x/2)/sin(x/2)
　　=(2((cos(x/2))^2))/(2(sin(x/2))(cos(x/2))
　　=(1+cosx)/sinx
　　=(1/sinx)+(1/tanx)

工=-(1/sinx)-(1/tanx)-x+C
........................................................

回答No.1

nious

合ってると思いますよ。

(1) 2∫dt/(t+1)^2
(2)∫-1 + 1/{1-cos(x)} dx