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三角比の問題についてお願いします
式 3(cos^4θ+sin^4θ) - 2(cos^6θ+sin^6θ)の値を求めよ という問題なのですが 3(cos^4θ+sin^4θ)を 3(cos^2θ+sin^2θ)^2として (cos^2θ+sin^2θ)^2 = 1 なので3×1で3 2(cos^6θ+sin^6θ)を 2(cos^2θ+sin^2θ)^3として (cos^2θ+sin^2θ)^3 =1 なので2×1で2 3-2= 1 この解き方は間違っていると言われたのですが どこが間違っているのでしょうか?
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>3(cos^4θ+sin^4θ)を 3(cos^2θ+sin^2θ)^2として 3(cos^2θ+sin^2θ)^2 = 3cos^4θ + 6cos^2θsin^2θ + 3sin^4θ です。 6cos^2θsin^2θ はどこへ行ってしまいましたか? 3乗の展開も同じです。どこかへ行ってしまった項があります。
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x, y の対称式(x, y が対等な式)は基本対称式 x+y と xy で表せます。 x, y, z の対称式は基本対称式 x+y+z, xy+yz+zx, xyz で表せます。 x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x +y) が基本です。 よって、以下のようになります。 cos^4θ + sin^4θ = (cos^2θ + sin^2θ)^2 - 2cos^2θ・sin^2θ = 1 - 2cos^2θ・sin^2θ cos^6θ + sin^6θ = (cos^2θ + sin^2θ)^3 - 3cos^2θ・sin^2θ(cos^2θ + sin^2θ) = 1 - 3cos^2θ・sin^2θ 与式 = 3(1 - 2cos^2θ・sin^2θ) - 2(1 - 3cos^2θ・sin^2θ) = 1
- asuncion
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というわけで…。 (cos^2θ + sin^2θ)^2 = cos^4θ + 2cos^2θsin^2θ + sin^4θ より、 cos^4θ + sin^4θ = (cos^2θ + sin^2θ)^2 - 2cos^2θsin^2θ = 1 - 2cos^2θsin^2θ また、 (cos^2θ + sin^2θ)^3 = cos^6θ + 3cos^4θsin^2θ + 3cos^2θsin^4θ + sin^6θ より、 cos^6θ + sin^6θ = (cos^2θ + sin^2θ)^3 - 3cos^2θsin^2θ(cos^2θ + sin^2θ) = (cos^2θ + sin^2θ)^3 - 3cos^2θsin^2θ = 1 - 3cos^2θsin^2θ であるから、 3(cos^4θ + sin^4θ) - 2(cos^6θ + sin^6θ) = 3(1 - 2cos^2θsin^2θ) - 2(1 - 3cos^2θsin^2θ) = 1 とする必要があります。
- jlnd
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まずsin cos の4乗の項を出す発想は必要だとは思いますが 展開によって出てくる 2sin^2θcos^2θの項を考慮してないと思います。 そこが間違えです。
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