初等整数論の参考書を探しています

このQ&Aのポイント
  • 初等整数論を読んでいますが、理解が深まっていません。初等整数論の参考書を探しています。
  • 初等整数論の練習問題に挑戦していますが、難しい問題が多く解けずにいます。初等整数論の理解を深めるために、別の角度から眺められる参考書を探しています。
  • 初等整数論についてより進んだ内容ではなく、理解を深めるための参考書を探しています。ネット上のPDFは使いたくないため、じっくり読むことができる本を探しています。
回答を見る
  • ベストアンサー

初等整数論

遠山啓の初等整数論を読んでいます。 今、平方剰余の相互法則に差し掛かった辺りです。 今まで読んだ章に載っている練習問題はすべて挑戦しましたが、自分的に歯ごたえのある問題が結構あって、3分の1くらいは数日考えても結局できずに解答を見て理解に努めています。 本文を読んでいて証明を追うことはできるのですが、当たり前だと思えるくらいに理解が深まっているとはいえません。 理解を深めるために、別の角度から初等整数論を眺めてみたいと思っています。内容的により進んだものでなくていいのですが、そういう本はありますか? なお、ネット上にその手のPDFなどがいくつかあるのは知っていて、参考程度にたまに利用しますが、目が疲れるのでじっくり読むものとしては使いたくありません。

noname#182734
noname#182734

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • Ae610
  • ベストアンサー率25% (385/1500)
回答No.1

当方、工学系で数学専攻ではないのだが、同じように整数(論)に多少関心を持っている・・! (質問者が数学専攻者であれば釈迦に説法になるやも・・!?) 「初等整数論」で真っ先に浮かぶ書物とすると・・ <高木貞治>の本だったりするのかなぁ・・!? (当方は所持していないため、実際に所持されて読まれている方の回答に委ねる) 当方の場合で言うと・・・、 #「数論入門」G.H.ハーディ & E.M.ライト著(示野信一、矢神毅 訳) ・・・で学習させてもらっている あと、解析的なアプローチから整数論を論じている物で・・・ # 「解析的整数論」末綱恕一 著 ・・・を「眺めさせて・・」もらっている! ・・・既にご存じであればご容赦!

noname#182734
質問者

お礼

高木貞治のは定番らしくよく聞きます。解析概論は読みましたがこっちは一度も手をつけたことがありません。 ハーディ&ライトも定番のようですね。 見てみます。ありがとうございました。

関連するQ&A

  •  高木初等整数論 p85 

    初等整数論で (n/m)は平方剰余のルジャンドルの記号、もしくは,Jacobiの記号とします。水平の-が書けないため。 (記号の説明) φ(m):オイラー関数:mと素である整数の数 Legendreの記号 x^2≡a  (mod.p)が解をゆうするときにaをpの平方剰余、そうでないとき平方非剰余という。 not(a≡0) (mod.p)でないとき、aが平方剰余であるか、非剰余であるかに従って (a/p)=+1または-1 (m/n)の定義 n>1が奇数で,n=pp'p''---が、nの素因数分解でsるとき,(m,n)=1なる整数mに関して (m/n)=(m/p)(m/p')(m/p'')---とする。 右辺は、Legendreの記号 jacobiの記号 (定理) mが平方数でないならば、mを法とするφ(m)個の既約類のうち、半数に属するnに対しては(n/m)=+1、他の半数に対しては、(n/m)=-1 (証明)と続きますが。 mを法とする同一既約類に属するnに対しては(n/m)の値は一定. いまφ(m)個の既約類の代表を(n/m)の値によって+の組と-の組とに分けて、 (+)  a1、―――,an    (a/m)=+1 (-) b1、―――,bn    (b/m)=-1 とする。 a≡1(mod m)であるaなどは+の組に属するが、仮定でmは平方数でないから、-の組も空虚でない。 (質問)mは平方数なら、-の組は空虚は明らかですが、mは平方数でないから、-の組も空虚でないはどうしていえるのでしょうか。わかりやすく説明ください。

  • ルジャンドル記号

    次のルジャンドル記号の値を平方剰余の相互法則を用いて計算せよ (780/907) 問題の答えがわかりません どう計算、導くのかもわかりません どうかお力をお貸し下さい

  • ペル方程式x^2-py^2=-1は常に整数解を持つか?

    先日、 http://okwave.jp/kotaeru.php3?q=2069583 で、√Dの連分数展開の周期がいつ奇数になるか?という問題を質問させていただきました。平方剰余の相互法則の第一補充則と簡単な議論から、Dは4で割り切れないこと、さらにDの素因数に4で割って3余る素数を含まないことが必要条件となります。連分数展開の周期が奇数になることと、ペル方程式 x^2-Dy^2=-1 が整数解を持つことは同値です。したがってこのためのDの必要条件が求められたことになります。しかし、上の条件が満たされるDでもペル方程式が整数解を持たないものがたくさんあります。たとえば34,146,178,194,205,221,…などなどです。他方、合成数であっても解をもつDもたくさんあります。いったいこれらの性質の違いがどこから来るのか知りたいものです。ですが、難しい問題なのかも知れません。 で、本題です。このDが特に素数pのとき、解を持たないような反例が600以下の4で割って1余る素数で見つからなかったので、これなら正しいのではないか?と思ったので、そのことを証明する方法、あるいは反例があるのであれば知りたいと思いました。 きちんと書くと、「pを4で割って1余る素数とするとき、x^2-py^2=-1は常に整数解を持つか?」ということです。4で割って1余る素数pはある互いに素な自然数s,tを用いてp=s^2+t^2と表されることが知られています。しかし、こう表されることがペル方程式が整数解を持つための十分条件になるかというとそうではありません。たとえば34=5^2+3^2は合成数で平方和分解を持つ数ですが、上記のペル方程式の整数解を持たないもので、58=7^2+3^2は合成数で平方和分解をやはり持ちますが、こちらはペル方程式が整数解を持ちます。ですから、もし僕の書いた主張が正しいのであれば、素数性が大事なのであって、平方和分解とは本質的に異なる問題だと思います。

  • 大学の数学科3年生です。整数論をまなんでいます。

    大学の数学科3年生です。整数論をまなんでいます。 画像の問題についてわからないところがあるので教えていただきたいです。 "写像の合成を積とする"の意味を教えて頂きたいです。 fa:G→Gの写像が全単射であることは証明できたのですが、その次の「MGが写像の合成を積として群となる」がわかりません。群になるかどうかは結合法則などの3条件を満たすか調べれば良いとわかりますが、"写像の合成を積とする"という部分のイメージがわきません。どなたか教えていただきたいです。よろしくお願いします。

  • 法が合成数の時の平方剰余

    法が合成数の時の平方剰余 法が素数であれば平方剰余の相互法則等を用いて、 簡単に平方剰余の判定ができます。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%89%B0%E4%BD%99%E3%81%AE%E7%9B%B8%E4%BA%92%E6%B3%95%E5%89%87 では、法が合成数だった場合、簡単な計算方法はあるのでしょうか?

  • 奇数を互いに素である2つの平方数の和で表す

    初等数論の下記の問題が解けずに悩んでいます。どなたか教えていただけませんでしょうか。できれば初等数論の範囲で教えていただければ助かります。 (問題) kは奇数であり、k=p1*p2*...*pNと素数の積で表した場合に全てのp≡1 mod 4であるならば、k=s^2+t^2、ただしgcm(s,t)=1と表せることを証明せよ。 kが単なる自然数の場合、k=p1*p2*...*pNと素数の積で表した場合に全てのp≡1 mod 4であるならば、k=s^2+t^2に表せることは、平方剰余の相互法則(-1/p)=1 p≡1 mod 4とフェルマーの無限降下法を用いて証明できることは理解できます。しかしkが奇数の場合にgcm(s,t)=1となる場合が存在することが理解できません。 最初は必ずgcm(s,t)=1となるのかと思いましたが、そうではないようです。例えば845=13^2*5という奇数は、(13*2)^2+(13*1)^2と表せばgcm(s,t)≠1ですが、そのほかに22^2+19^2および29^2+2^2と表すことができ、これらの場合gcm(s,t)=1になります。

  • 整数に関する証明

    有理数体Qの元で,Qの部分環Z上整なものはZの元であることは知っていましたが、証明できずに困っています。 頭がよければ中学生でも理解できそうなことで躓いてしまい、恥ずかしいけど質問します。 s/t∈Q(s, t は互いに素な整数)がZ[x]に含まれるモニック多項式, f(x) = x^n + (a_1)x^(n-1) + ・・・ + a_n の零点とする。 f(s/t) = (s/t)^n + (a_1)(s/t)^(n-1) + ・・・ + a_n = 0 s, t が互いに素なのを利用して t = ±1を証明すればいいのですが、その証明ができません。 初等整数論以前の初歩的質問ですが、アドバイスをお願いします。

  • 整数問題

    出典:東京出版、新数学演習 問題1・13より 解答を読み進め、以下で進まなくなりました。 ------------------------------------------------------------------- "4桁の整数で。その下2桁の数と上2桁の数との和の平方と等しくなるものを求めよ。" 解答)  上2桁をa、下2桁をbと置く 100a+b=(a+b)^2 a^2+2(b-50)a+b^2-b=0 a=50-b±√(50^2-99b) …(1) このaが整数であるための条件は√の中が平方数であることで、そこで、 50^2-99b=n^2 (nは0以上の整数) …(2) とおくと、まず0≦n≦50であり、(2)の両辺を9で割った余り (左辺の余りについては暗算で7)について考えると ------------------------------------------------------------------- ここまでは完全に理解できています。問題は以下。 ------------------------------------------------------------------- nは9で割ると余りは4or5 …(※) (以降略) ------------------------------------------------------------------- この1文でつまずいています。 本解答は以降、同様に11で(2)の両辺割った余りを考察し、 0≦n≦50でこれらを満たすn(n=5,49,50)を求め、(1)(2)から整数解を 出しています。(解:2025、3025、9801) この流れは理解できますが、上の一文だけは展開矛盾を感じています。 こういう形でなく、 "n^2を9で割った余りが7になる最小のnは4or5" という言い回しなら分かりますが、(※)は n^2ではなくnについて言っています。 しかも4と5を余りといっています。 ただ本誌も何年も刊行されてますし、誤植ものではないと思います。 合同式の知識が浅はかなので、その辺で私が読み取れていない部分が ありそうですが、有識な方の解説を頂ければ幸いです。

  • modを使用した平方根の求め方

    解き方が解からない問題があります。 どれだけ考えても解き方がわからないので、どなたかわかる方教えてください。 【解き方が解からない問題】 大きな素数の積n=pqが与えられた時、nを素因数分解するのは非常に難しい。 整数mと整数y(<m)が与えられた時y=x2(xの二乗) mod mなる整数解xが存在すれば、yは mod mで平方剰余であるという。 xを mod mでのyの平方根という。 mが素数7の時、 12(1の二乗の事です。二乗の書き方がわからなくて・・・)≡1 (mod 7) 、 22(2の二乗) ≡ 4 (mod 7) 32(3の二乗)≡2 (mod 7) 、 42(4の二乗) ≡ 2 (mod 7) 52(5の二乗)≡4 (mod 7) 、 62(6の二乗) ≡ 1 (mod 7) となるので、1、2、4が平方剰余で、各平方剰余には2個の平方根がある。 mが二つの素数の積の場合、4個の平方根がある。 ここまでが参考書に載ってる説明です。 ここから私がわからない問題です。 102(10の二乗) mod 77=23 n = 77 の素因数7と11から素因数の知識を利用してZのmod nでの平方根Sを計算する。 S2(Sの二乗) ≡ 23 mod 7 S2(Sの二乗) ≡ 23 mod 11 上の2つを解いて、mod 77での4つの平方根10、32、45、67を得る。 この2つの式から、何をどうやって計算して、4つの平方根10、32、45、67が導き出せたのかわかりません。 二乗の表記の仕方がわからず、とても見難くなってしまいました。すみません。 乱文になってしまいましたが、どなたかわかる方教えてください。 よろしくお願いします。

  • 初等整数論の問題だと・・・

    条件φ(n)=1/3nを満たす自然数を求めよ. ヒント?:オイラーの公式