負の二項定理の証明とテイラー展開式

質問

１．負の二項定理の証明が思いつかないので教えてください。

２．いろいろ調べていると負の二項定理は二項定理の（１＋ｘ）＾aのｘを-xとし、aを有利数まで拡張した（１-x）＾aのテイラー展開式でかける関連があることだけわかりましたがどのようにつながっているのかわかりません。

お手数ですが教えてください。

回答No.3

alice_44

単に、xの-n乗 を x=1 中心にテイラー展開すればよいのでは？
最後に x=B/A を代入して、全体を Aの-n乗 倍しておけばいい。

回答No.2

kabaokaba

ちなみに

(1-x)^{-1} = 1 + x + x^2 + x^3 + ・・・・
(1+x)^{-1} = 1 - x + x^2 - x^3 + ・・・・

ってなるのはご承知？
＃ただし，-1<x<1 だけど

これを組み合わせれば

(1-x)^{-2} = Σx^k Σx^k

とかできて，級数のコーシー積を頑張ればいいんだろうか
(1-x)^{-n}の場合，
最終的なx^k の係数は
kをn個の0以上の整数に分割する仕方になることがわかる

k=k1+k2+・・・+kn (k1,..,kn>=0，k1,...,knは整数)
となるn組(k1,k2,...,kn)の個数を求める
例：
k=3,n=2
(0,3)(1,2)(2,1)(3,0)で4
k=3,n=3
(0,0,3)(0,3,0)(3,0,0) 3
(1,0,2)・・・・で3*2=6
(1,1,1) 1
合計 10

けど・・・下から順番に考えると

n=2の場合，一般項x^kの係数は
kを0以上の二つの整数にわける方法を考えて

|○|○|・・・|○| ←k個の「○」を(k+1)個の「|」で区切る
「|」をひとつ決めればそれがひとつの分割になる

よって(k+1)がx^kの係数になる

n=3の場合
Σ(r+1)x^r Σx^r = ΣA3(k)x^k
とかすると

A3(k)は・・・
A3(k) = Σ_{r=0}^k (r+1) = (1/2)(k+1)(k+2) = C(k+2,2) （2項係数）

n=4の場合
ΣA3(r)x^r Σx^r = ΣA4(k)x^k
A4(k) = Σ_{r=0}^k A3(r) A3(r)=C(r+2,2)

一般的にAn(k)がどうなるかは私は存じません
＃というか・・・綺麗にかけないように思う．

回答No.1

noname#199771

あなたがいう「負の二項定理」というのが何なのか補足に書いてください。

何を証明したいのかがわからなければ証明を書き様がないです。