電磁気学(以前質問した問題の続きです)

質問

私の研究室の先生に聞いたところ、先生も分からないと仰っていてお手上げ状態です。

以下の問題の(4)で質問があります。
http://www.picamatic.com/view/9405907_DSC_0337/

図1の画像
http://www.picamatic.com/view/9366453_DSC_0338/

(4)は(3)とは逆に、H0の外部磁場を印加するということなので、(3)とは逆の方向に同じ初角速度で回転を始めることは想像できます。しかし、これのみを解答に書くというのはどうも心もとない気がします。

一応この後の運動を、(3)の初角速度で回転を始めた後、電流は弱くなるから自己誘導で電流を増やそうとする。という風に考えたのですが、こう考えてしまうと
電流が弱まる→自己誘導で電流を増やす→電流が弱まる→自己誘導で電流を増やす→・・・・

と永遠におこり、回転が永久に止まらないことになってしまいますよね？
これはあり得ないと思いました。

回転をし始めた後の運動がイメージできずに困っています。

あと、(5)では、慣性モーメント、抵抗をほぼ0と近似するということですが、抵抗を0にするということは
最初の電磁誘導で流れる電流がずっと流れ続けるということでいいのでしょうか？さらに、慣性モーメントを0に近似することで、運動がどう変わってくるのでしょうか？

以上3つ質問がありますが、ご教授してもらえてら助かります。

回答No.5

eatern27 · ベストアンサー

>N=2(a/2)Fsinθ
>=-{a^4(μ0H0)^2/R}sinθd(cosθ)/dt

針金の回転によって生じた誘導電流が外部磁場から受けるトルクが回転を加速させる、
つまり、回転を加速する向きに誘導電流が生じるというのがおかしいのではないか、という事を言っているのですが、

自己インダクタンスを考えてその問題を解消できるのならば、
・自己インダクタンスの寄与で誘導電流が反転する
・誘導電流が外部磁場から受けるトルク以外のトルクが登場する
のどちらかしかないと思いますが、どちらだとお考えなのでしょうか？

いずれにしても、L→0の極限で
定磁場中で静止した針金が自発的に動き出す(わずかな揺らぎが増幅される)事になってしまいますから、どう考えてもおかしいと思うのですが。

>V=-(μ0)(a^2)H0{d(cosθ)/dt}-L(dI/dt)
>J=V/R
えっと、Iは針金のインダクタンス成分を流れる電流で、Jは抵抗成分を流れる電流というようなイメージなのですかね？
基本的にはインダクタンスと抵抗の直列回路と思って差し支えはないので、I,Jと区別する必要はありません(つまりどちらも同じ「針金」を流れる電流だから同一のものです)

>・慣性モーメント、抵抗をほぼ0と近似するということですが、抵抗を0にするということは、最初の電磁誘導で流れる電流がずっと流れ続けるということでよいのか？
>・慣性モーメントを0に近似することで、運動がどう変わってくるのか？

運動方程式が分からないとそれを考える事ができないから、運動方程式がどうなるのかを考えるのが先だと言っているのです。

お急ぎなら新しく質問を立てて他の人の回答を募った方が良いと思います。私はそんなに頻繁にここに出入りできませんので。

お礼

お礼が遅くなり申し訳ありません。
用事が込み入っていてゆっくり読む暇がありませんでした。
とは言いましても実はまだゆっくり読む暇が作れません・・・
とりあえず用事が落ち着いたらもう一度読み直してみて、改めて質問してみたいと思います。
ありがとうございました。

回答No.4

eatern27

遅くなりすみません。

>どの時点で自己インダクタンスを考えれば良いか分かりません。

針金を作る磁束は外部磁場に由来するものだけではなく、
針金を流れる電流が作る磁場に由来するものもある事を考慮すれば、

>V=-(μ0)(a^2)H0{d(cosθ)/dt}
この右辺に自己インダクタンスを含む項が出てくるはずです。

>N=2(a/2)Fsinθ
>=-{a^4(μ0H0)^2/R}sinθd(cosθ)/dt
これでは回転を加速する方向にしかトルクがかからない事になってしまいますが、少なくとも符号が間違っているのでは？

>一応定性的にイメージしたのは、
直感的には結論は正しい気がしていますが、本当に正しいかどうかは考えるのに運動方程式がどうなるかが分からないと何とも。

補足

返答ありがとうございます。

＞この右辺に自己インダクタンスを含む項が出てくるはずです。
ということは、このとき流れる電流をIとおいて、
V=-(μ0)(a^2)H0{d(cosθ)/dt}-L(dI/dt)
と、自己インダクタンスの項を加えて、改めて
J=V/R
としてトルクを求めて、運動方程式を立てていけばよいということでしょうか？
そうすれば
「回転を加速する方向にしかトルクがかからない」ことも解消できると思うのですが・・・

自分としては針金に流れる電流を2回違う文字(IとJ)で考えているから、何か違和感を覚えますが、
Iは、最初に針金に流れる電流で、JはIが流れてから数秒後(もっと短いと思いますが)の電流と考えればよいのでしょうか？

あと、私の都合を勝手に言ってしまって大変恐縮ですが、院試真近のために(5)の
・慣性モーメント、抵抗をほぼ0と近似するということですが、抵抗を0にするということは、最初の電磁誘導で流れる電流がずっと流れ続けるということでよいのか？
・慣性モーメントを0に近似することで、運動がどう変わってくるのか？

という疑問を早々に解決したいのですが、よろしければこちらのほうにもコメントをしていただければ幸いでございます。

回答No.3

eatern27

>、(4)の設定では、磁場を0からH0にするということなのでしょうか。それとも、磁場をHからH0(H0＞H)に変えるということなのでしょうか？

「(3)とは逆」なのだから、前者の解釈しかできないでしょう。

>今度はθが変数になるので、θ=ωt+θ0 として、
えぇっとωが時間に依存する(定数ではない)事は分かっているのですよね？

>N={(μ0H0)^2(a^4)/R}(sin(ωt+θ0)}^2
１．両辺の次元が一致していない
２．トルクが非負である
３．トルクは自己インダクタンスLを含んでいない(多分、どこかに自己インダクタンスが絡んでくると思います)
という点でおかしいのでは。といっても、具体的な計算はしていないのであしからず。

補足

すみません。ωは一定ではないですね。ちゃんと針金の運動を整理できていない証拠ですよね・・・

私は、以下のように考えました。
(3)で求めた初角速度とは逆向きに回転を始める。
回転を始めると、定磁場H0で、針金を貫く磁束が変化するため、誘電起電力Vが生じる。その時、
V=-(μ0)(a^2)H0{d(cosθ)/dt}
なので、そのとき流れる電流は
J=V/R
針金の1辺にかかる力Fは
F=aJ(μ0)H0
なので、針金に働くトルクNは、
N=2(a/2)Fsinθ
=-{a^4(μ0H0)^2/R}sinθd(cosθ)/dt

と考えましたが・・・・どの時点で自己インダクタンスを考えれば良いか分かりません。
正直言いまして、最初から分からなかったのが、ここなのです。一体いつ自己インダクタンスLを使うのかということです。

一応定性的にイメージしたのは、
第1段階)
針金が回転を始めると、針金を貫く磁束が減る→磁束が増える方向に電流が流れる(この電流をI1)→自己誘導でその電流の向きを妨げる方向に電流が流れる(この電流をI2とする)
I2 > I1 となることは考えにくいので、回転の方向はこの段階では変わらない。

第2段階)
針金を貫く磁束が増える→磁束が減る方向に電流が流れる→自己誘導でその電流の向きを妨げる方向に電流が流れる。第2段階の途中で第1段階とは逆方向に回転を始める。

これらを交互にくりかえして、いずれ静止する。
という運動を私はイメージしましたが、間違っていますでしょうか？

回答No.2

eatern27

>磁場が時間的に変化しないので針金に電流が流れていないときの運動方程式ということになりますよね？

固定した磁石の近くでコイルを動かしたら電流は流れますよね？

補足

返答ありがとうございます。

ふと思ったのですが、(4)の設定では、磁場を0からH0にするということなのでしょうか。それとも、磁場をHからH0(H0＞H)に変えるということなのでしょうか？

とりあえず、前者のほうで針金を動かしたときの運動を考えてみます。
(3)と同様に剛体の運動方程式をたてて初角速度をだすと、
ω0=-{(μ0^2)(a^4)sin2θ/4RI}H0^2
であり、この初角速度で回転を始めます。
このとき、H(-ε)=ω(-ε)=0 H(ε)=H0 を用いました。

その後H0の定磁場中では、今度はθが変数になるので、θ=ωt+θ0 として、針金に働くトルクを求めると
N={(μ0H0)^2(a^4)/R}(sin(ωt+θ0)}^2
となり、剛体の方程式が
I(dω/dt)=N
なので、一応ωは解析的に解けそうです。
ですが定性的に述べよということなので、述べさせてもらうと、最初の電磁誘導によって針金は運動エネルギーを得て、それが回転エネルギーとジュール熱によって使われていき、回転の向きを交互に変えながら物体は静止する状態に向かっていく。

という感じでいいでしょうか？

回答No.1

eatern27

定磁場中での運動方程式がどうなるかを考えるのが先でしょう

運動方程式が解析的に解けるか知りませんが、仮に解けないのだとしても、
回転の運動エネルギーの変化率がどうなるのか(少なくともジュール熱と関連するはず)というような事は分かるはずです。

補足

返答ありがとうございます。

定磁場中での運動方程式ということは、磁場が時間的に変化しないので針金に電流が流れていないときの運動方程式ということになりますよね？

・・・となると、針金に力が働かないので運動方程式をたてても、
I(dω/dt)=0
ということですよね？・・・
つまり、ω=一定　ということでしょうか？