頂角が０に近づいていくときの正多角形の面積について

質問

別の質問から派生した疑問なのですが、改めて質問させていただきます。正多角形をいわゆる一筆書き（仮に右回りとします）。正多角形の頂角がπに近くづいていくと円になることは理解できますが、逆に頂角が０に近づいて行くとき正三角形を過ぎていわゆる星型になってきますが、頂角が０に近づいた極限の正多角形の面積は０になるのでしょうか、あるいはπになるのでしょうか。星型の面積は紙に書いて切り抜いた時の図形とした場合を想像しています。頂角が小さくなると、一筆書きで真っ黒になってしますので、頂角がπになる時の円とちがって面積のイメージが得られないでいます。よろしくお願い申し上げます。

回答No.14

noname#199771

#7ですが、もう一つ訂正。

＞即ちm=2n+1の場合もπになります。

は誤りで、m=2n+1の場合はπ/3になりました。

恥ずかしながら計算しないで目分量でいったのが間違いの
元で、ゴリゴリ展開して確かめました。

「極限」の意味によって値が変わってしまうわけですね。
含みが多く、奥行きの深い問題だと思いました。

お礼

私の数学力はせいぜい中学程度です。双曲線も難しいのです。実力はありませんが、数学には憧憬の念を持っています。このような私でも、憧れることは許されるとありがたいと思います。

回答No.13

stomachman

No.4です。　皆さんの研究が凄い勢いで進んでるようですね。これは楽しみだ。問題がはっきりしてみると、結構面白かったりするんで、質問者さんが置いてけぼりを喰らってしまっているのは、ま、多少やむを得ないでしょ。

　「頂角/π = rを小さくしていく」という話をするためには、ただ「rは有理数だ」と言っただけじゃ、図形の形がさっぱり分かりません。既約分数の集合の構造を知る必要があるでしょう。
　これ、実は単純な格好をしています。
　二つの既約分数の間にある既約分数を全部網羅するアルゴリズム（もちろん終わらないので、部分アルゴリズムと呼ぶべきですが）は、
　　(分子同士の和)/(分母同士の和）
を作る。これだけです。
　　0/1と1/1の間であれば、(0+1)/(1+1) = 1/2
　　1/2と1/1の間であれば、(1+1)/(2+1) = 2/3
　　1/2と2/3の間であれば、(1+2)/(2+3) = 3/5
という具合で、再帰的に上記のアルゴリズムを適用することで、
・与えられた両端値の間にある大きさを持つ、
・既約分数だけを生成し、
・しかも、「与えられた両端値の間にある大きさを持つ既約分数」はどれであっても、いつか必ず生成される。
ということが容易に証明できます。
　こうして、大きさの順に揃った既約分数の列が得られるんです。

　この操作は「既約分数の空間における自己同型写像」という形にも書けるんですが、あ、いや、話がややこしくなるだけだな。

お礼

御心配には及びません。皆さんの学識と御好意には僭越ながら敬意と感謝の念を抱いております。

回答No.12

noname#199771

#7です。
書き損じが多くて申し訳ありません。

×　msin(π/m)cos(nπ/m)cos((n-1)π/m)
○　msin(π/m)cos(nπ/m)/cos((n-1)π/m)

です。手元の計算を打ち込むときにタイプミスしました。
ただ、その後の結果には影響しません。

お礼

ご訂正感謝いたします。

回答No.11

sunflower-san

回答No.5です。

他の方の回答で少し気になった点(誤りと思われる点)がありますので、補足をさせてください。

まず、No.6さんの「突起の個数が必ず奇数」は誤りだと思います。
No.6さんの説明されたのは、No.5の説明における p=1の場合の系列(q=1,2,3,...)です。一般にp,qを公約数を持たない正整数として、(2+p/q)角形の突起の個数は(p+2q)になります。
例えば、突起の内角が45度の星型正多角形を考えてみてください。突起の個数は8になりますね？これはp=2, q=3 つまり(8/3)角形の場合です。
また、直感的に明らかではないですが、No.6さんの説明にあるr(m)について、
lim[m→∞]r(m) = 1/3であって、0ではないです。

No.6さんの補足で「頂角の大きさ(y)と頂点の数(x)が、ｙ=((x-2)/x)πという中学生並みの双曲線で示されると思い・・」とありますが、星型正多角形は頂点の数だけでは、頂角は決まりません。

しかし、頂点の数 x のかわりに正 z 角形(ただし z は2より大きい有理数)の(z)という量を考えると、
「頂角の大きさ(y)と正 z 角形の(z)が、ｙ=((z-2)/z)πという中学生並みの双曲線の関係を持つ」のです。
そして、「有理数(z)を既約分数で表したときの分子」が、頂点の数(x)なのです。

たとえば、いわゆる星型は正5/2角形で、
頂角の大きさは((5/2-2)/(5/2))π=π/5
頂点の数は5/2の分子=5 個

また、正8/3角形の場合、
頂角の大きさは((8/3-2)/(8/3))π=π/4
頂点の数は8/3の分子=8 個

という具合です。

次に、No.7さんの星型正多角形の面積の計算結果について、
m sin(π/m)cos(nπ/m)/cos((n-1)π/m)
の誤りだとおもいます。
したがって、

No.7さんの説明にある、

>nと書いてある点とm-nと書いてある点と
が隣り合っている場合、即ちm=2n+1の場合もπにな
ります。切れ込みの部分のm個の和を取っても0に収束
してしまうというのは直感的には不思議な感じですね。

の部分も、実際は、m=2n+1の場合、切れ込みの部分のm個の和(星型正多角形と外接円に囲まれる部分)は0には収束せず、
外接円の面積の2/3に近づく、というのが正しいです。

お礼

ご教示されたことを大切にさせていただきます。

回答No.10

noname#199771

#7,#8の間違いです。失礼しました。

回答No.9

noname#199771

#6,#7です。

何度もすみませんが、極限を取るときはmとnとが
互いに素という関係を保ちながら極限操作しなけ
ればなりません。

お礼

ご追加感謝いたします。

回答No.8

noname#199771

#7の図です。

お礼

勉強させていただきます。

回答No.7

noname#199771

#2ですが、星形正多角形のことですかね？

互いに素な自然数m,n(m>2,m>n)を用いて、円周上に
等間隔にm個の点を置き、n個置きに線分でつなげて
いくと一筆書きできます。mは偶数でも奇数でもいい
です。これはn=1のときは普通の正m角形になります。

図はその様子を描いたものです。

一つの頂点（ここでは0と書いています）を端点にもつ
辺のもう一つの端点はnと書いてある点とm-nと書いて
ある点になります。

隣の頂点についても同じことが言えますので、結局
太線で示した四角形の面積のm倍を質問者さんは
多分想定されていると思われます。

中心と0と書いてある点とnと書いてある点のなす角
は(π/2)(1-2n/m)となります。

0と書いてある点と中心と1と書いてある点とのなす
角は2π/mとなります。

三角関数を使って計算すると、
msin(π/m)cos(nπ/m)cos((n-1)π/m)
となります。

極限というのがどういう意味で言っているのかわかり
ませんが、nを固定してm→∞にすると、これはπつま
り頂点が乗っている円の面積に収束することがわかり
ます。また、nと書いてある点とm-nと書いてある点と
が隣り合っている場合、即ちm=2n+1の場合もπにな
ります。切れ込みの部分のm個の和を取っても0に収束
してしまうというのは直感的には不思議な感じですね。

この投稿のマルチメディアは削除されているためご覧いただけません。

お礼

私の理解の及ぶ限り勉強させていただきます。

回答No.6

alice_44

一筆書きで星形になるためには、
突起の数が奇数でなくてはならない。
原点 O 中心、半径 1 の円を描き、
円周上に 2m+1 個の頂点 P[k] を等間隔に置く。
星形折れ線の自己交叉で、扇形 OP[0]P[1] に
含まれるものは、線分 P[0]P[m] と P[1]P[m+2]
の交点だけである。この点を Q と名づける。
星形の「内部」で OP[0]P[1] に含まれる部分は、
△OQP[0] と △OQP[1] からなる V 字形である。
星形は、これらと合同な小三角形 2(2m+1) 個
が集まってできている。

OP[0] = 1, ∠QOP[0] = π/(2m+1) だから、
OQ = r(m) と置くと、
△OQP[0] = (1/2)r(m)sin(π/(2m+1))。
よって、星形の面積 S(m) は、
S(m) = r(m)sin(π/(2m+1))(2m+1)。
よく知られた lim[x→0](sin x)/x = 1 を使うと、
lim[m→∞]S(m) = πlim[m→∞]r(m) と解る。

Q の座標は計算できるから、r(m) を
真面目に求めることもできるが、図形的には、
lim[m→∞]r(m) = 0 はほぼ明らかである。

要するに、面積の極限は 0。
「内部」の定義が釈然としないけれど。

お礼

いただいたご説明をできる限り理解できるように致します。頂角の大きさ（ｙ）と頂点の数（ｘ）が、ｙ＝（（ｘ－２）/ｘ）という中学生並みの双曲線で示されると思い、迷い始めたようです。ｘが３を超えて２に近づいて行くときは、ｙがπに近づいてときよりも複雑なことがあるのだと自分なりに納得できました。

補足

お礼欄の等式の右辺にπをつけることをうっかり忘れました。

回答No.5

sunflower-san

以下では、半径1の円に内接するような一筆書き(星型)正多角形を考えるものとします。

結論から言うと、頂角を小さくする、というだけではご質問の面積は一定値に収束しません。
しかし、頂角を小さくするとき、適当に条件をつけて小さくする系列を考えれば面積が収束する場合があります。

まず、頂角をθとします。θはどんな値でもいいわけではありません。一筆書きがいつかもとの頂点に戻ってくるためには、θはπの有理数倍でなければいけません。そこでθ＝aπ(aは正の有理数)とおきます。このとき、この(星型)正多角形は通常の正多角形と同様に言えば、2/(1-2a) 角形である、といえます。つまり星型正多角形として考えうるのは「2より大きな有理数」角形のみです。そこで、(2+ p/q) 角形を考えましょう。議論をややこしくしないため最初からp,qは共通の約数を持たないものとします。このとき、頂角は p/(p+2q) π になります。頂角を小さくする極限を考えるので、q → ∞ (「pと互いに素な整数の範囲で」どんどん大きな値にする)とすることになります。

実は、ご質問の面積の極限はpに依存します。

面積を計算するために、星型正多角形の尖っている点(頂点)と、それに隣接する凹んでいる点、多角形の中心、の3点を結んで出来る三角形(以下では"基本三角形"と呼ぶことにします)を考えると、星型正多角形とは、基本三角形とその鏡像の三角形それぞれ(p+2q)枚を張り合わせた図形であることが分かります。

さて基本三角形は最長辺が1です。また、長さ1の辺の両端点の角を、多角形の中心側をα、多角形の頂点側をβとおけば、それぞれ
α=π/(p+2q), β=pπ/(2(p+2q)) となっています。

このことから、三角関数の計算で最長辺に対する高さ h を求めると、
h = sin(α)sin(β)/sin(α+β) となり、
基本三角形の面積は、h/2 よってその鏡像の三角形も面積は h/2、結局星型多角形の面積は
(h/2+h/2)×(p+2q) = h(p+2q) となります。

そこで、ご質問の面積の極限は、

lim[q → ∞ ]{ (p+2q)sin(π/(p+2q),)sin(pπ/(2(p+2q)))/sin(π/(p+2q)+pπ/(2(p+2q)))}

となるわけですが、π/(p+2q)=tとおくと、この極限は

lim[t → 0]{π/t sin(t)sin(pt/2)/sin((1+p/2)t)}

と書き換えられ、さらに

lim[t → 0]{sin(t)/t} = 1であることを使うと、

この極限は、pπ/(p+2) となります。

よって、pの値次第で、極限はπ/3やπ/2や3π/5などになりますし、qに比べて緩やかながらpも無限に大きくする極限を取ればπになります。しかしこの結果から、「極限は0に近づくことはなく、少なくとも外接円の面積(π)の1/3の大きさになる」ということも分かります。

ちなみに、極限がπ/3に近づくパターンはp=1の場合、つまり頂角がπ/(2q+1)となるような星型正多角形でq→∞とした場合です。
これはいわゆる尖った五角形の星型(q=1の場合)を含む系列で、尖った七角形(q=2の場合)、尖った九角形(q=3の場合)、、、と続きます。

お礼

ご教示を大切にさせていただきたいと思います。頂角がπに近づくほうはわかりやすい円になるのと対照的に難しいということがよくわかりました。