「双子のパラドックス」について

質問

「双子のパラドックス」について疑問に思ったので質問させて頂きます。

・地球から見て光速の90%の速度で等速度運動をする兄の乗った宇宙船から、さらに兄の乗った宇宙船視点で光速の90%まで加速するロケットAを発射した場合
→地球から見ると「兄の乗った宇宙船」は光速の90%に達しており質量が増加している。「兄の乗った宇宙船」を基準としてさらに光速の90%まで加速するロケットAを射出するならロケットAの質量はさらに増加すると思われますが、地球出発前に測定したロケットAの質量は「兄の乗った宇宙船」視点と地球視点で違うものなのでしょうか？

回答No.10

mandegansu

>地球出発前に測定したロケットAの質量は「兄の乗った宇宙船」視点と地球視点で違うものなのでしょうか？

違います。地球出発前のロケットＡの質量を１００ｋｇとします。
飛行中のロケットＡの質量（地球から見た場合）　　３００ｋｇ
飛行中のロケットＡの質量（宇宙船から見た場合）　２００ｋｇ
です。（数字は適当です。）

回答No.9

Nakay702

No.2です。

＞やはり地球も固有の速度をもっているのでしょうか。
⇒そのとおりだと思います。まず第一に、地球は太陽の周りを公転しているし、その太陽が、すべての惑星・衛星・小惑星・周辺天体などを引き連れて、銀河系の中心を約1億数千万年の周期で回っているといいます。そして、さらに我々の銀河つまり、天の川銀河は、同じ局所銀河群に属するアンドロメダ銀河などと接近しあっているらしいし、さらにさらに、この局所銀河群がまた集団をなして、おとめ座銀河団の方向へ引き寄せられて超高速で移動していると言われます…。

＞それでは「地球速度」というものを「質量の増加」から理論計算で求めることが出来るのではないかと思うのですが、いかかでしょうか？
＞もし可能なのであれば宇宙に「絶対静止系」が存在することになります。
⇒宇宙には、「絶対静止系」はないと言えるでしょうね。近傍の銀河同士は、上でみたように、互いに引き合っていますね。「近傍」といっても数千万光年のレベルで、そのあたりの銀河や銀河群・銀河団が互いに集まっていって、いわゆる「グレートウォール」を構成し、さらに大きな「宇宙の泡構造」の一部となっていくわけですね。一方、その中のボイドの部分は膨らみつつあるそうで、つまり、大きく見ればこの宇宙は膨張している「膨張宇宙」といわれますね。

＞或いは「質量」にも絶対的な基準がないということなのでしょうか？
⇒「質量」を表わす定数は、宇宙全体に共通の、いわゆる「物理定数」に基づいて、どの系に対しても同じ定数を適用しているという意味では、「絶対的な基準」といえるでしょうね。しかし、そのすべてを、我々が、いわば「人間原理」に基づいて決定し、利用しているという意味では、「絶対的」かどうか分かりませんが…。

おっと、最初のご質問からだいぶ離れてしまいました。すみません。

回答No.8

雪中庵（@psytex）

相対運動における時間の遅れは、等速直線運動を扱った
特殊相対性理論により指摘されたものであり、等速直線
運動は相対運動であって、兄にとっては弟の時間が遅れ、
弟にとっては兄の時間が遅れるのです。
時おり「そうした時間の食い違いは到着時の加速により
調整される」という解説が見られますが、それは超光速
現象を意味するので不可能です。

それはつまり、世界は相対運動ごとに別の時空を無数に
派生させている事になります。
実際、世界は無数の可能性の積層の上に成り立っている
事は、２本のスリットを通してその向こうのスクリーン
に１個づつ電子を飛ばすと、その痕跡の集積は単純な２
本線（スリットの投影）ではなく干渉縞である事から、
１個の電子が２つのスリットを通った可能性同士が干渉
している事が示唆されます。
もっと本質的な現象として、素粒子の相互作用において、
Ａという状態からＢの状態になる確率は、その中間的な
複数の経路の可能性の、それぞれの確率全てを足した値
になる＝全ての経路を経るという「経路積分」もあります。

相対性理論が明らかにした、「絶対時空はなく、観察者と
の相対によって変化する」という相対性の延長において、
全ての相対運動ごとに時空のメンバーの組み合せは無数に
分化し、その積層（時間軸的相対運動）の上に時空性
（慣性質量も）は生じていると言えます。

回答No.7

foomufoomu

＞「質量原器」のようなものを想定し、惑星Xでの質量計測と
＞「兄の乗る宇宙船内」での質量計測では結果は異なってくるのでしょうか？
ううっ、加速度の問題が出てくると、一般相対論になるので、簡単に想像できない(高度に数学的な問題になる)のですが。。。たぶん速度が同じになった瞬間の計測は同じ質量ということになるのでしょう。

この場合、質量原器を天秤に乗せるわけにはいかないので、質量原器が兄の宇宙船内にあるなら、兄がある力をかけて加速すると、質量が違うなら、加速度の大きさが違うように観測されるはずです。
兄は加速度の場にいるので、質量原器は常に後ろ向きに力がかかっています。この力は兄と惑星Xの計測が違うのですが、兄は等加速度運動しているとすると、これ自体は兄が力をかける前後で変化しないので、質量原器の加速度には影響せず、質量原器はどちらの観測も兄の力に応じた加速がされるでしょう。（自信ないです）

回答No.6

foomufoomu

>「速度の増加」による「質量の増加」が計測されたという話は聞いたことがなかったので
速度による質量の増加は、ずいぶん昔から計測されています。
一番わかりやすいのは、サイクロトロンで電子などを加速するとき、速度(静止している加速装置との相対速度)が光速に近づくほど、見かけの質量が大きくなり、加速するために大きな力(大きな磁力)をかけてやる必要がある。という現象です。

基本のわかってない人の話を聞くのはやめましょう。

回答No.5

noname#195146

補足、承りました。#4です。

>「速度の増加」による「質量の増加」が計測されたという話

　光速度に十分近い速度の物体の質量を計る方法が、今のところ事実上皆無な状況で、天秤に載せて精密測定、のようにはいきません。

　それでも、「速度が大きいほど質量が増える」と考えて計算して、たとえば粒子加速器できちんと辻褄が合ったりします。そうしたことは傍証になります。

　ただ、その相対論的質量は進行方向と、進行方向と垂直な方向で異なるものになります。それぞれ、縦質量、横質量と呼ばれることがあります。質量をそのように複雑化して考えることを嫌う人もいて、「質量が変わらないが運動量が単純に速度比例ではない」という立場を固持することもあります。

>相対論的効果による「時間の遅れ」は実際に計測された

　時間を精密に計測する実験もありますが、明らかに時間の遅れがあると分かるのは、素粒子ですね。地球には宇宙線が常に降り注いでおり、大気圏に衝突してさらに崩壊して降り注ぐ宇宙線も少なからずあります。

　その中には非常に短時間で崩壊する素粒子があります。計算すると、たとえ光速度だとしても地表には届かないはずのものがあります。すると、その素粒子は時間がゆっくりになっていると、相対論通りに考えれば説明がつきます。

　このことを、その素粒子の側から言うと、素粒子からすれば普通に時間が進んでいるけれど、大きな相対速度により地表までの距離が短縮されているため（ローレンツ収縮）、短時間で到達できるということになります。

　その二つの観測者の立場で生じるのが双子のパラドクスです。その素粒子の立場からすれば、地表の時間がゆっくり流れています。さらに、地表までは近いわけです。これは相対論から間違いなく言えることです。

　すると、素粒子からすれば地表で待っている観測にとっては、素粒子自身よりさらに非常に短時間で自分は地表に到達するはずだとなります。「なぜ地表の観測者は、わざわざ私（素粒子）の寿命の心配をする必要があるのだ？」ということですね。

　これは、相対論のパラドクスでは非常によくある「同時刻の相対性」を考慮しないことによる考え方のミスです。同時刻の相対性という現象を考慮すると、素粒子からみた地表の時計はゆっくり進むけれど、ずっと未来の時刻になってしまうのです。そのため、到達所要時間をきちんと計算すると、やはり地表の計測では長く、素粒子自身の計測では短くなります。

回答No.4

noname#195146

これは普通に双子のパラドクスと呼ばれているものとは違いますね（観測者により時間について矛盾がありそうなものを指すことが多い）。しかし、お示しの思考実験設定に、なんら問題はありません。

>地球出発前に測定したロケットAの質量は「兄の乗った宇宙船」視点と地球視点で違うものなのでしょうか？

　いえ、その時点ではロケットAは、兄にも地球に残る弟にとっても同じ相対論的質量です。複数の観測者が互いに静止している（同じ慣性系にいる）とき、一つの物体の相対論的質量が異なることはありません。

　兄の宇宙船が光速度の90％に達して、ロケットAを射出する前は、兄にとってロケットAは静止している（同じ慣性系にいる）ので、出発前と同じ質量です。地球に残った弟からすれば、どちらも光速度の90％ですから、兄の宇宙船とロケットAは同じ比率で増大した相対論的質量を持ちます。

　さらにロケットAが兄の宇宙船に対して光速度の90％で射出されると、ロケットAは兄にとっては光速度の90％になっただけ増大した相対論的質量になります（射出前に弟が見ていた相対論的質量に等しい）。

　このとき、地球に残っている弟からすると、ロケットAは光速度の約99.4％になります（光速度の1.8倍ではない）。その相対論的質量も光速度の99.4％相応のものになります。

P.S.

　いずれも「速くなると重くなる」と言われる相対論的質量です。速度によって質量が変わるわけではないと見做す立場もあり、そういう見方をするときは、ロケットAや兄の宇宙船の質量は速度に依らず不変です（その代り、運動量が単純な「質量×速度」ではないとする）。

補足

相対論的効果による「時間の遅れ」は実際に計測されたと知りましたが、「速度の増加」による「質量の増加」が計測されたという話は聞いたことがなかったので疑問に思っていました。
詳しく解説下さりありがとうございました。

回答No.3

foomufoomu

>それでは「地球速度」というものを「質量の増加」から理論計算で
>求めることが出来るのではないかと思うのですが、いかかでしょうか？
できません。　
前に書いたように、相対論の結果は、あくまで観測者からの相対速度で決まるので、観測者が地球に対してどれだけの速度で動いているかで、結果が違ってきます。

>もし可能なのであれば宇宙に「絶対静止系」が存在することになります。
地球と同じ速度で動く人(相対速度=0)からの観測は、質量の増加はありません。
同様に火星と同じ速度で動く人からは火星の質量増加はありません。
これらの結果から、どちらを基準系とするかは、決めることができません。

ついでに、タイトルの「双子のパラドックス」について説明しますと、
多くの本やサイトが誤った説明をしています。相対論は、観測者からみた時間の流れを表すもので、これを使って冒険者の兄の歳を説明するのは間違いです。
双子のパラドックスは、兄の旅行が終わった時、それぞれが持っている時計がどれだけ進んだかを比べるものです。その間にだれが何を観測しようと関係ありません。
兄と弟の違いは、弟は兄が地球からの距離Xの星まで行って帰るのを待っていますが、兄は地球や星との間に相対速度をもって旅行しているので、相対論による距離の縮みが起きて、星までの距離はXより小さくなっています。そのため往復に要する時間も弟より短くなります。
この差が兄が歳をとらない理由です。

補足

詳しく説明下さりありがとうございます。
絶対静止系などはなく、あくまで相対的ということで理解しました。
しかし、また新たな疑問が思い浮かんでしまいました。
仮に、複数の矮星等の近傍をスイングバイの形で通過して「地球から見て」光速の90%に達した慣性系にいる惑星Xがある場合、地球から出発した「光速の90%に達する兄の乗るロケット」が惑星Xとの相対速度がゼロになった時に、両者の相対速度はゼロですが慣性系にいたものと加速系にいたものという違いが生じます。
この場合、「質量原器」のようなものを想定し、惑星Xでの質量計測と「兄の乗る宇宙船内」での質量計測では結果は異なってくるのでしょうか？

回答No.2

Nakay702

天文学に興味を持つ、好事家です。

＞「双子のパラドックス」について疑問に思ったので質問させて頂きます。

＞・地球から見て光速の90%の速度で等速度運動をする兄の乗った宇宙船から、さらに兄の乗った宇宙船視点で光速の90%まで加速するロケットAを発射した場合
＞→地球から見ると「兄の乗った宇宙船」は光速の90%に達しており質量が増加している。「兄の乗った宇宙船」を基準としてさらに光速の90%まで加速するロケットAを射出するならロケットAの質量はさらに増加すると思われますが、地球出発前に測定したロケットAの質量は「兄の乗った宇宙船」視点と地球視点で違うものなのでしょうか？

⇒面白い問題設定ですね。
アインシュタインの「思考実験」に輪をかけて、「想像実験」のような感じになりますが、さらには、全く個人的な独断になりますが、以下のように考えました。

（１）「双子のパラドックス」は、速度の異なる座標系では時間の進み方も異なるので、「兄が地球に帰還したとき、弟がすっかりお爺さんになっている」というものですね。
（２）地球も運動していますから、兄の乗った宇宙船の速度は「地球速度＋光速の90%」ですね。
（３）そこで問題のロケットAですが、これは「兄の乗った宇宙船を基準としてさらに光速の90%まで加速する」のですから、その速度は、単純に足し算すれば、「地球速度＋光速の90%＋光速の90%」ですね。
（４）ということは、地球から見たロケットAは、単純計算では光速を超えることになりますね。
（５）ところが、現在の「相対性理論」に従えば、この宇宙では「どんなに速くなっても光速を超えることはない」のでしたね。
（６）ということは、「ロケットAの速度は、限りなく光速に近い速度となる」というところでしょうか。
（７）では、もし仮に光速を超える速度を獲得することがあるとすればどうなるのでしょう？
（８）「全く個人的な独断」の二乗くらいの、チョー独断ですが、光速を超える速度を獲得したロケットAは、「この宇宙を飛び出して別の小宇宙をつくる」ことになるのではないかな～、などと憶測しております！
（９）それは、ちょうど「地球の引力を振り切って圏外へ出るのに、秒速11km何がしの速度が必要である」のと、ある意味、パラレルな関係からの推論です。

ごめんなさい 、勝手に楽しんでしまいました。
以上、ご回答まで。

補足

回答をありがとうございます。
やはり地球も固有の速度をもっているのでしょうか。
それでは「地球速度」というものを「質量の増加」から理論計算で求めることが出来るのではないかと思うのですが、いかかでしょうか？
もし可能なのであれば宇宙に「絶対静止系」が存在することになります。
或いは「質量」にも絶対的な基準がないということなのでしょうか？

回答No.1

foomufoomu

当然違います。

相対論は「観測者からみた非観測者の相対速度が○○のとき××と観測される」を説明した理論です。
地球からAの相対速度と、兄からAの相対速度は違うので、質量も時間の流れも物体の長さも、それぞれの観測者から見て、違う物と観測されます。

（この質問、双子のパラドックスとは、あまり関係ないですね。）

お礼

早速の回答をありがとうございました。