３つの集合の要素の個数

質問

100人の生徒に３つの問題ABCを出題したところ、
Aが解けた生徒は90人、Bが解けた生徒は75人、
Cが解けた生徒は60人で、AとBが解けた生徒は68人、
BとCが解けた生徒は38人、AとCが解けた生徒は55人で、
３題とも解けなかった生徒は１人であった。
３題すべて解けた生徒は何人か。また３題のうち、
2題のみが解けた生徒は何人か。

図はかけたのですが、計算のやりかたが分からないので
お願いします！

回答No.4

birth11 · ベストアンサー

ベン図は、Aだけの部分eと、
Bだけの部分fと、
Cだけの部分gと、
AとBだけが重なっている部分bと、
BとCだけが重なっている部分cと、
CとAだけが重なっている部分aと、
AとBとCがすべて重なっている部分dとに分けることができます。

ベン図にもa～gを書いてください。

のべ数のかずは、
(Aの人数)=a+b+d+e……………(1)
(Bの人数)=b+c+d+f……………(2)
(Cの人数)=a+c+d+g……………(3)
(1)+(2)+(3)より
(のべ数)=2a+2b+2c+3d+e+f+g…………(4)
(和集合の人数)=a+b+c+d+e+f+g…………………(5)
(4)-(5)より
(のべ数)ー(和集合の人数)=a+b+c+2d……………(6)
2つだけが重なっている部分の数をY、3つすべて重なっている部分の数をXとすると、
Y=a+b+c
X=d
なので(6)より
(のべ数)-(和集合の人数)=Y+2X
この式を変形すると、

(のべ数)-(Y+2X)=(和集合の人数)

お礼

ありがとうございました！
やっと、意味がわかりました(*^^*)

回答No.5

yyssaa

回答No.2に図を添付しました。

お礼

ありがとうございました！
図があるのとないのは違いますね(゜Д゜;)
助かりました！

回答No.3

birth11

まずベン図を描きましょう。

AとBとCの和集合の人数は 100ー1＝99(人)……………(1)
AとBとCののべ数は 90+75+60=225(人)………………(2)
3題 すべて解けた生徒をX人、2題のみが解けた生徒をY人とする。
交わった部分の人数を見ていくと、Y+2X=(68-X)+(38-X)+(55-X)+2X=161-X(人)……………(3)
のべ数から(Y+2X)を引くと和集合の人数になる。
225-(161-X)=99………((1)、(2,)、(3)から)
X=35(人)
Y=161-3X=161-3*35＝５６(人)
(答え)3題すべて解けた生徒は35人、2題のみが解けた生徒は56人。

お礼

なんとかわかりました！！
ありがとうございました！

補足

Y＋2xの2xはどういう範囲を表しているのですか？
なぜ、xではなく2xなのですか？

回答No.2

yyssaa

＞Aだけ解けた生徒をa人、
Bだけ解けた生徒をb人、
Cだけ解けた生徒をc人、
AとBだけ解けた生徒をab人、
AとCだけ解けた生徒をac人、
BとCだけ解けた生徒をbc人、
A,B,Cが解けた生徒をabc人
とすると、
a+ab+ac+abc=90・・・・・・・・・・・・(1)
b+ab+bc+abc=75・・・・・・・・・・・・(2)
c+ac+bc+abc=60・・・・・・・・・・・・(3)
ab+abc=68・・・・・・・・・・・・・・・・・(4)
bc+abc=38・・・・・・・・・・・・・・・・・(5)
ac+abc=55・・・・・・・・・・・・・・・・・(6)
a+b+c+ab+bc+ac+abc=99・・・・・(7)
(1)(6)からa+ab=90-55=35・・・(8)
(2)(4)からb+bc=75-68=7・・・・(9)
(3)(5)からc+ac=60-38=22・・・(10)
(7)に代入
35+7+22+abc=99からabc=35
(4)からab=68-35=33
(5)からbc=38-35=3
(6)からac=55-35=20
(8)からa=35-33=2
(9)からb=7-3=4
(10)からc=22-20=2
３題すべて解けた生徒はabc=35人・・・答
2題のみが解けた生徒はab+bc+ac=33+3+20=56人・・・答

お礼

ありがとうございました！
意外とややこしいですよね(ノ^^)ノ
ためになりました。

回答No.1

maiko0318

数字、合っていますか？計算が合わない気がします。

補足

確かめたところ数字は間違ってないです。