数学AＩの問題お願いいたします

質問

問１

Ｕ＝{x|xは整数.100≦x≦200}を全体集合とする。5で割り切れる数の集合をA.7で割り切れる数の集合をBとするとき.次の個数を求めよ。

(1) n(A)
(2)n(A∩B)
(3)n(A∪B)
(4)n(A∩￣B)←Bの上に￣をのせてください
(5)n(A￣∩B￣)←AとBそれぞれの上に￣をのせてください。

答えは
(1)21個(2)3個(3)32個(4)18個(5)69個

答えはわかっているのですが、答えまでの道のりで困っています。よろしくお願いいたします。

問２

50人の生徒のうち、音楽の好きな生徒がx人で、スポーツの好きな生徒は音楽が好きな生徒より15人多い。また、音楽の好きな生徒のうち半数はスポーツも好きである。音楽、スポーツのどちらも好きでない生徒が5人であるとき、xの値を求めよ。

夜分に大変申しわけございません。m(_ _)m

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

問1
(1)
n(A)は、100 ≦ x ≦ 200の範囲にある整数のうち、
5で割り切れる数の個数である。
よって、n(A) = (200 - 100) ÷ 5 + 1 = 21

(2)
n(A∩B)は、100 ≦ x ≦ 200の範囲にある整数のうち、
5でも7でも割り切れる数（つまり35の倍数）の個数である。
よって、A∩B = { 105, 140, 175 } より、n(A∩B) = 3

(3)
n(A∪B)は、100 ≦ x ≦ 200の範囲にある整数のうち、
5または7で割りきれる数の個数である。
n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B) = 21 + 14 - 3 = 32

(4)
n(A∩~B)は、100 ≦ x ≦ 200の範囲にある整数のうち、
5で割り切れて7で割り切れない数の個数である。
(1)より、5で割り切れる数の個数は21。
この中には、7で割りきれる数もあるし、7で割りきれない数もある。
(2)より、5でも7でも割り切れる数の個数は3。
よって、求める個数は21 - 3 = 18

(5)
n(~A∩~B)は、100 ≦ x ≦ 200の範囲にある整数のうち、
5でも7でも割り切れない数の個数である。
ここでは、補集合を考える。
ド・モルガンの法則により、~(~A∩~B) = A∪Bである。(3)より、n(A∪B) = 32
よって、n(~A∩~B) = 200 - 100 + 1 - 32 = 69

問2
n(A)を、Aが好きな生徒の人数とする。
n(music) = x
n(sports) = x + 15
n(music ∩ sports) = x / 2
n(~music ∩ ~sports) = 5
以上より、
n(music ∪ sports) = 50 - n(~music ∩ ~sports) = 45
また、n(music ∪ sports) = n(music) + n(sports) - n(music ∩ sports)
= x + x + 15 - x /2でもあるから、
x + x + 15 - x / 2 = 45
3x / 2 = 30
x = 20
念のために検算
音楽好きは20人。
スポーツ好きは35人。
どちらも好きなのは10人。
どちらも好きでないのは5人。
音楽またはスポーツが好きなのは45人（両方とも好きな人数を含む）。
20 + 35 - 10 = 45で、勘定が合っている。

お礼

早々にとてもわかりやすく、丁寧な解答ありがとうございました。明日までの宿題でどうしても、最後の大問二問で詰まってしまいました。夜分にも関わらず丁寧でわかりやすい解答心から感謝申しあげます。ありがとうございました。とても助かりました。