接線を結ぶ線分

質問

2次元空間内のある曲線上の任意の点Pにおいて接線を引くと、その接線のx切片と接線を結ぶ線分が常にy軸で2等分される。

ここでいう線分はどのような線分を表してるのでしょうか？

回答No.5

over_the_galaxy · ベストアンサー

＞その接線のx切片と接線を結ぶ線分が
おそらく、x切片と「接点」を結ぶ線分、でしょう。問題文に書いてたならミスプリです。

曲線をy=f(x)、接点Pのx座標をaとすると、
接線:y=f'(a)(x-a)+f(a)
x切片の座標はy=0のときのxざひょうなので、
0=f'(a)(x-a)+f(a)
x=-f(a)/f'(a)+a
任意の接点pの接線に必ずx切片が存在するので、接線の傾きf'(a)はゼロでない。
接点P(a,f(a) )とx切片(-f(a)/f'(a)+a,0)の中点はy軸上にある、すなわちx座標がゼロなので
2a-f(a)/f'(a)=0
この関係が曲線上の任意のaにおいて成立するので、aを改めてxとおくと
f'(x)=f(x)/(2x)
積分すると
logf(x)=log(x)/2+C1
右辺=log(C2*x^(1/2))
f(x)=C*x^(1/2)
C1,C2,Cは定数

お礼

おそらくミスプリだと思います。微分方程式を解く問題だったのですが解くことができました。ありがとうございました。

回答No.4

asuncion

あ～なるほど。
#2さんの解説で疑問が氷解。

＞2次元空間内のある曲線
私はここを勘違いしていました。

回答No.3

asuncion

＞その接線のx切片と接線を結ぶ線分が常にy軸で2等分される。

2回登場している「接線」のうち後の方が「接点」が正しいとしても、
その接線のx切片と「接点」を結ぶ線分が常にy軸で2等分される。
という状況がどういうことなのか、今ひとつ理解に苦しみます。

回答No.2

info22_

>その接線のx切片と[接線]を結ぶ線分が常にy軸で2等分される。

[接線]の所は「接点P」の間違いと思われます。
問題が間違っていないか、確認して下さい。

その接線のx切片Qと接点Pを結ぶ線分PQが常にy軸で2等分される。
つまり、その接線のy切片をMとすると、常にMは線分PQの中点になる。

この問題のある曲線とは
例えば原点O(0,0)を頂点とする中心軸がy=0(x軸)の横向き放物線
　4px=y^2
です。
この曲線上のP点(p,2p)(p≠0)における接線は
y=x+p
となり、x切片はQ(-p,0),y切片はM(0,p)なので
線分PQ:P(p,2p)とQ(-p,0)を結ぶ線分
y切片M(0,p)（pはゼロでない任意の実数）は、常に線分PQの中点になります。
つまり、点Mによって線分PQが常に2等分されます。

例）p=3の場合の図を添付します。
他のpに対しても図を描いてみて下さい。

質問の疑問点が解決すると思います。

お礼

図を交えて説明してくださり放物線のようすがよくわかりました。ありがとうございました。

回答No.1

f272

その接線のx切片と接点を結ぶ線分
の間違いじゃないのか？