熱力学(数学)の証明の問題です

質問

Ｚ＝（Ｘ，Ｙ） Ｘ，Ｙ，Ｚは状態量
ｄＺ＝ＰｄＸ+ＱｄＹとすると
（∂Ｐ/∂Ｙ）ｘ＝(∂Ｑ/∂Ｘ)ｙ 完全微分
Ｘ，Ｙ，Ｚが状態量なら上の完全微分が成り立つことを数学的に証明せよ。
どうやったらいいか教えてください。お願いします

回答No.1

noname#221368 · ベストアンサー

Ｚ＝（Ｘ，Ｙ）ではなく、Ｚ＝f（Ｘ，Ｙ）（←ＺはＸとＹの関数）でしょうか？。以下、そうだとしてですが・・・。

　そうなると、数学的な証明というより、状態量の定義をちゃんと理解してるかどうかを、問われてる事になります。

　Ｚ＝f（Ｘ，Ｙ）において、Ｚの値が（Ｘ，Ｙ）平面上での「（Ｘ，Ｙ）の位置だけ」で決まる時、Ｚを（Ｘ，Ｙ）によって決まる「状態量」と言います。Ｚ＝f（Ｘ，Ｙ）なんだから、そんなの当たり前じゃないか、と思うかもしれませんが、一般にはそうではありません。

　そのために講義では、点（Ｘ，Ｙ）がある経路Ｃに沿って進んだら、Ｚの変化はこうなるみたいな例が、沢山出て来ませんでしたか？。経路Ｃが閉じた例（円のように）は、特に注目されませんでしたか？。

　閉じた経路を一周して出発点に（Ｘ，Ｙ）が帰って来た時、最初のＺ＝f（Ｘ，Ｙ）と後のＺ＝f（Ｘ，Ｙ）が違うような例は、ありませんでしたか？。そんような場合、Ｚ＝f（Ｘ，Ｙ）の値は本当は、「（Ｘ，Ｙ）の位置だけ」では決まらず、経路依存になります。本当は、Ｚ＝f（Ｘ，Ｙ，経路）な訳です。このような場合には、（Ｘ，Ｙ，Ｚ）は非状態量です。

　しかしf（Ｘ，Ｙ）の式を見た瞬間に、それを判断し難い場合もあるので、質問にあるような状態量になる条件を導きます。（Ｘ，Ｙ，Ｚ）が状態量の時、「状態（Ｘ，Ｙ）においてＺは、Ｚ＝f（Ｘ，Ｙ）という値を取る」などと言います。

　またＺ＝f（Ｘ，Ｙ）や、それと等価なＳ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝0の形を、「状態方程式」と言います。代表はもちろん、理想気体の状態方程式です。Ｚ：温度，Ｘ：圧力，Ｙ：体積みたいな感じです。

　という訳で（Ｘ，Ｙ，Ｚ）が状態量なら、Ｚ＝f（Ｘ，Ｙ）として「普通の関数」を考えれば良い事になります。「普通の関数　Ｚ＝f（Ｘ，Ｙ）」では、全微分の公式から、

　　ｄＺ＝(∂f/∂Ｘ)ｄＸ＋(∂f/∂Ｙ)ｄＹ

なので、

　　Ｐ＝∂f/∂Ｘ　，　Ｑ＝∂f/∂Ｙ

です。偏微分の順序交換則より、

　　∂Ｐ/∂Ｙ＝∂^2f／(∂Ｘ∂Ｙ)＝∂^2f／(∂Ｙ∂Ｘ)＝∂Ｑ/∂Ｘ　　　(1)

になります。

　逆に条件(1)から、f（Ｘ，Ｙ）が普通の関数である事（←（Ｘ，Ｙ）に関するポテンシャルになると言います）を、数学的に導けますが、まぁ～そこは、暇な時にでも(^^)。

　またＺ＝f（Ｘ，Ｙ）がポテンシャル（普通の関数）なら、Ｙ＝g(Ｚ，Ｘ)もＸ＝h(Ｙ，Ｚ)も、数学的に不運なケースを除けば大抵ポテンシャルになります。なので（Ｘ，Ｙ，Ｚ）は状態量、という訳です。これも暇な時に、ちょっと考えてみて下さいね。でも、理想気体の状態方程式でも思い浮かべれば、明らかですよね(^^)。

回答No.2

alice_44

A No.1 の適切で丁寧な回答を見れば判るように、
これは、数学ではなく物理の質問です。
しかも、用語の定義を知っているかどうかだけの。