数学1の2次方程式の問題

質問

2時方程式 2x^2-2√7x-3=0 の2解をα, β(α＜β)とするとき

α=(√7-√13)/2
β=(√7+√13)/2

となりました。

このとき、

2α+3/α^2

4α^2+9/α^2

8α^3+27/α^3

を求めよ。

また、m＜α＜m+1 を満たす整数mを求めよ。

この問題がわかりません。
どなたか、解き方を教えてください！

回答No.6

asuncion

＞#4さん
＞x=0の時―3と負、x=―1の時2+2√7―3>Oだからm=ー1

これはダウト。
なぜ、-2～-1や0～1とかではなく-1～0に着目したのか、
論理的な説明が付きません。

回答No.5

yukito1729

まず、2αを2乗したら、4α^2ですね。
2αを3乗したら、8α^3ですね。

また、α^2＝5-√91/2

√91は大体9くらい。10よりも小さい。
9は√81。10だったら√100なので。

つまり、α^2＝5-4.5くらい=0.5くらい

2乗したら0.5くらいになるということは
-1＜α＜1　

α＝(√7-√13)/2　より明らかにαはマイナス。

よって、m＝-1とすると、　-1＜α<0となり、解となる。

回答No.4

USB99

x=0の時―3と負、x=―1の時2+2√7―3>Oだからm=ー1

回答No.3

asuncion

α = (√7 - √13) / 2
2α = √7 - √13
ここで、
2 = √4 < √7 < √9 = 3より、2 < √7 < 3
3 = √9 < √13 < √16 = 4より、3 < √13 < 4, -4 < -√13 < -3
よって、-2 < 2α = √7 - √13 < 0
-2 < 2α < 0
-1 < α < 0
ここから、αは-1と0の間にあることがわかるから、m = -1

回答No.2

daytona2000

【回答ではありませんが】

問題が、2α+3/α^2　となっていますが、転記ミスはないですか？

この手の問題の多くは、2α - 3/α　が最初で、これにαを代入するのではなく、
α≠0と、方程式から（方程式のｘはαでも成立するので、αの方程式にして、その両辺をαで割る）、
2α-3/α＝2√7を求め、

次に、これを２乗して、4α＾2　-12　+9/α＾2　＝　28　から、　4α^2+9/α^2＝40を出し・・・

というのが常套手段なのですが・・・

（転記ミス等でなければごめんなさい）

回答No.1

asuncion

＞2α + 3/α^2
他の式と比べて、規則性がないですね。もしかして、
2α + 3/αではないでしょうか。そうだと仮定します。
2α + 3/α
= √7 - √13 + 6/(√7 - √13)
= √7 - √13 - 6(√7 + √13)/6
= √7 - √13 - √7 - √13
= -2√13

4α^2 + 9/α^2
= (2α + 3/α)^2 - 12
= 52 - 12
= 40

8α^3 + 27/α^3
= (2α + 3/α)^3 - 3・4α^2・3/α - 3・2α・9/α^2
= -104√13 - 36α - 54/α
= -104√13 - 18・(2α + 3/α)
= -104√13 + 36√13
= -68√13

とりあえずここまで。