数学 ルートi の値について

質問

√－１と言う結果が出た場合、どのような値にすればいいのでしょうか？

例えば
√１と√－１ではどちらが大きいのか？　比でで表すと、何対何？
１：√i　←これではだめです(^_^;)
√－１と言う値は、結果として影響を与える数字ではないから「０」としていいのか？
符号を消して「１」として扱うか？
結果としてでているので相殺できません。

困ってます(^_^;)

回答No.17

stomachman

結論から申し上げると、ご紹介のHPには公式の適用条件が明確に書いてありますね、「室温が外気温より高い場合は」って。これを無視したのが虚数単位が出てきた理由です。（猛者の皆さん、ちょっと難しく考えすぎ。）

HPに書いてある話は、温度によって空気の密度が変化しますから、軽い暖かい空気が上の換気口から逃げ出して、重い冷たい空気が下の換気口から入ってくる。その流量を求めようという訳です。

[1] その前に、このHPには幾つか注意すべき点がある。
●まず、工業単位が使われている。つまり質量[kg]ではなく重量[kg重=kg m/s^2]を手抜きして"kg"と書いてあるという事。たとえば「比重量」は単位が[kg重/m^3]=[kg /m^2/s^2]であって、
r = gρ
(ここにg[m/s^2]は重力加速度、ρは密度[kg/m^3]）です。以下、原則としてMKS単位系による物理の記法を使うことにします。
●HPでは「流入する空気の重量と流出する空気の重量は等しい」なんて書いてあるくせに、公式は体積を計算するものになってます。単位時間あたりに流出する空気の体積と流入する空気の体積は当然異なる。さらに開口部を二つ設けるというのに、開口部の断面積が一つ(A)しか式に入っていない。これも変ですね。従ってこの公式は本来片手落ちなんですが、実用上はこれでも良い。その理由は後述致します。
●室内に温度勾配があってもよさそうなのに、「室温」とか「室内空気の比重量」とか言ってます。これもちょっと変な話ですね。いずれも、どういう仮定のもとに導かれた公式なのかがはっきり書いてないのが感心しない。
●(ro-ri)/ro=(ti-to)/(273+ti)
気温（℃で測ったもの）と比重量の関係は
r=K/(273+t)
で表されます。ここにKは比例係数。分母はtを絶対温度で表したものですね。代入して整理すると、
(ro-ri)/ro=(ti-to)/(273+ti)
ですから、これはオッケーです。従って以下、温度の話は忘れて、密度ρあるいは比重量rの方で説明しますよ。

[2] では本題。
　流体力学です。換気口をノズルだと考えて、ノズルの周りで空気は静止しているものとする。その入り口側での密度をρ、圧力をPi、出口での圧力をPoとする。当然Pi>Po。また開口断面積をAとすると、流速が遅いとき流量q（重量/秒。単位[kg m/s^3]) は
q = gA√[{2γ/(γ-1)} Piρi{(Po/Pi)^(2/γ) - (Po/Pi)^((γ+1)/γ)}]
となる事が知られている。基本的な方程式から比較的簡単に導かれる結論なんですが、ま、これは鵜呑みにしましょう。ちなみにγってのは空気の場合1.4ですが、これはどうでも良いことが後で分かります。
　PiとPoの差をΔP=Pi-Poと書くことにすれば
Po/Pi ＝ (Pi+ΔP)/Pi = 1+ΔP/Pi
いま考えようとしている問題に於いては|ΔP/Pi|はごく小さいので、適当な定数cについて
(1+ΔP/Pi)^c ≒ 1+cΔP/Pi
という近似を使って良いでしょう。（これはf(x)=(1+x)^cをマクローリン展開して２次以上の項を無視したものです。）そうしますと、
q ≒ gA√[{2γ/(γ-1)} Piρ {[1+(2/γ)ΔP/Pi] - [1+((γ+1)/γ)ΔP/Pi]}]
これを整理するとγとPiは綺麗に消滅して
(1) q ≒ gA√(2ρΔP)
これはファンを使わないような静かな換気全般に使える公式ですね。HPに書いてある奴より応用が広そうですよ。さて、ΔPが負になることはあり得ない。というのはΔP=（圧力が高い側）－（圧力が低い側）で定義したからです。
　●もし負になっちゃったら、それは流れの向きを取り違えている証拠です。
　そして、これがご質問の本質的なポイントですよ。外気温の方が高い場合には流れの向きが逆になる。だから、変な答になっちゃったわけです。HPに書いてあるのは飽くまでも室温より外気温が低い場合の話ですから。

以下は蛇足です。HPの式を再構築してみましたよ。
[3]仮定と基本的関係式
　まずは簡単な条件として、外気温も室温も高さに依らず一定（つまり室内になにか熱源があり、静かな扇風機か何かで空気がよく撹拌されている）とする。従って、換気口の流量も小さいものと仮定しなくちゃいけませんね。そして、高さhだけ上昇したとき気圧がどう変化するかを考えます。hはごく小さいので、空気の密度は高さが変わっても一定だとして良いでしょう。すると、空気を高さh積み上げた重量の分だけ気圧が下がります。つまり高低差hによる圧力差は、室外と室内の空気の密度をそれぞれρo、ρi[kg/m^3]とするとき、室外ではghρo (gは重力加速度）室内ではghρiです。（これらの式の単位はパスカル[Pa]=[N/m^2] = [kg/m/s^2]ですよ。）
　従って、下方の換気口における外気の圧力をPoL, 室内の圧力をPiL, 上方の換気口における外気の圧力をPoU, 室内の圧力をPiUとしますと、
(2) PoU = PoL-ghρo
(3) PiU = PiL-ghρi
　下方と上方の換気口の断面積をそれぞれAL, AUとしましょう。
外気温の方が低いとしますと(ρi<ρo)、(1)式から、下方と上方の換気口での流量はそれぞれ
(4) qL = gAL√(2ρi{PoL-PiL})　（外から内へ）
(5) qU = gAU√(2ρo{PiU-PoU})= gAU√(2ρo{PiL-PoL+gh(ρo-ρi)})　（内から外へ）
であることが分かります。勿論外気温の方が高ければ、(ρo<ρi)
(4') qL = gAL√(2ρi{PiL-PoL})　（内から外へ）
(5') qU = gAU√(-2ρo{PiU-PoU})= gAU√(2ρo{PoL-PiL+gh(ρi-ρo)})　（外から内へ）
です。
　さらに仮定が必要です：この換気の状態は長時間続いていて、平衡に達しているものとします。（室内が100気圧、外が真空だったら、自然換気もへったくれもないでしょ？）このとき、
(6) q = qL = qU
が成り立っている筈ですね。

[4] まず外気温の方が低い場合についてやってみましょう。このときには
ρi<ρo, PoU < PiU < PiL < PoL
が成り立っています。だから
(4) q=gAL√(2ρi{PoL-PiL})
(5) q=gAU√(2ρo{PiL-PoL+gh(ρo-ρi)})
ゆえに、
[(q/g/AL)^2]/ρi= 2{PoL-PiL}
[(q/g/AU)^2]/ρo-2gh(ρo-ρi)=2{PiL-PoL}
よって、
[(q/g/AU)^2]/ρo-2gh(ρo-ρi)+[(q/g/AL)^2]/ρi=0
こいつを整理しますと、
(6) (q^2)=2(g^3)hρiρo(ρo-ρi)/[ρi/(AU^2)+ρo/(AL^2)]
を得ます。
特に　A=AU=AL の場合だと
(6a) (q^2)=2(A^2)(g^3)hρiρo(ρo-ρi)/[ρi+ρo]
また 0<AU<<AL=Aの場合だと
(6b) (q^2)=2(A^2)(g^3)hρi(ρo-ρi)
そして0<AL<<AU=Aの場合だと
(6c) (q^2)=2(A^2)(g^3)hρo(ρo-ρi)
ですね。

さらに、qを単位時間当たりに流れる空気の体積Qに換算する。このためには開口における密度が必要です。上方の開口では密度はρiであり、下方の開口ではρoです。従って、
QU = q / (gρi)
QL = q / (gρo)
ですから、
(7) (QU^2)=2gh(ρo/ρi)(ρo-ρi)/[ρi/(AU^2)+ρo/(AL^2)]
(8) (QL^2)=2gh(ρi/ρo)(ρo-ρi)/[ρi/(AU^2)+ρo/(AL^2)]
A=AL=AUのとき
(7a) (QU^2)=2(A^2)gh(ρo/ρi)(ρo-ρi)/[ρi+ρo]
(8a) (QL^2)=2(A^2)gh(ρi/ρo)(ρo-ρi)/[ρi+ρo]
0<AU<<AL=Aのとき
(7b) (QU^2)=2(A^2)gh(ρo-ρi)/ρi
(8b) (QU^2)=2(A^2)gh(ρo-ρi)ρi/(ρo^2)
0<AL<<AU=Aのとき
(7c) (QU^2)=2(A^2)gh(ρo-ρi)ρo/(ρi^2)
(8c) (QL^2)=2(A^2)gh(ρo-ρi)/ρo
ということになる。
　なお、ρからrへの変換は、
r=ρg
ですが、分子分母でgが打ち消し合うので、上記の(7)(8)式のρをそのままrと読み替えれば良い。
　さて、HPに書いてある公式とぴったんこなのはどれでしょう。(8c)ですね。しかし、他の式だって、近似的には同じようなものです。なぜなら
Δρ=ρo-ρi
とおくと、
0<Δρ<<ρi<ρo
ですから、どの式の右辺もほぼ同じ値を与える訳です。

[5] 今度は外気温の方が高い場合。つまりご質問のあった条件の方です。
ρo<ρi, PiU < PoU < PoL < PiL
が成り立っています。だから
(4') q = gAL√(2ρi{PiL-PoL})　（内から外へ）
(5') q = gAU√(2ρo{PoL-PiL+gh(ρi-ρo)})　（外から内へ）
ゆえに、
[(q/g/AL)^2]/ρi= 2{PiL-PoL}
[(q/g/AU)^2]/ρo-2gh(ρi-ρo)=2{PoL-PiL}
よって、
[(q/g/AU)^2]/ρo-2gh(ρi-ρo)+[(q/g/AL)^2]/ρi=0
こいつを整理しますと、
(6') (q^2)=-2(g^3)hρiρo(ρo-ρi)/[ρi/(AU^2)+ρo/(AL^2)]
これは(6)式の右辺の符号が逆になっただけですね。
を得ます。qを単位時間当たりに流れる空気の体積Qに換算すると、
(7') (QU^2)=-2gh(ρo/ρi)(ρo-ρi)/[ρi/(AU^2)+ρo/(AL^2)]
(8') (QL^2)=-2gh(ρi/ρo)(ρo-ρi)/[ρi/(AU^2)+ρo/(AL^2)]
ρo<ρiですから右辺は正の値を取っており、その平方根としてQU≒QLが求められます。

[6]まとめ
というわけで、HPの式はどうせ書くなら
Q = αA√(2gh|ro-ri|/ro)
とでも書いといてくれれば悩まなくて済んだんですね。
以上、ご精読ご苦労様でした。